Greeks praised highly the mathematical abilities of the Egyptians

 ΣΧΟΛΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΦΕΙΛΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΣΤΑ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μινωική πινακίδα HT 123-124 σε Γραμμική Α

Σε άρθρο τους οι Δοξιάδης και Σαλιαρός υποστηρίζουν την άποψη ότι “οι Έλληνες επήνεσαν ιδιαίτερα τις μαθηματικές ικανότητες των Αιγυπτίων και πίστευαν ότι οι πρόγονοί τους είχαν μάθει την τέχνη από αυτούς”.[1] Η άποψη φαίνεται να επαναλαμβάνεται με μικρές παραλλαγές από πλήθος ερευνητών, αποτελώντας – θα λέγαμε – την επικρατούσα αντίληψη στην επιστημονική κοινότητα. Πράγματι ο van der Waerden εμφανίζεται και αυτός θαυμαστής των Αιγυπτιακών Μαθηματικών, σημειώνει δε ότι Έλληνες της κλασικής περιόδου αλλά και οι κατοπινοί αναγνώριζαν την σχετική πρωτοκαθεδρία των Αιγυπτίων, για παράδειγμα στην Γεωμετρία.[2] Οι υποστηρικτές της απόψεως στηρίζονται κατά βάσιν σε αναφορές του Ηροδότου, του Αριστοτέλους, σε άποψη αποδιδόμενη στον Δημόκριτο κ.α.[3] Ας εξετάσουμε δι’ ολίγων αυτές τις αναφορές, απαράλλακτα επαναλαμβανόμενες από τους ειδικούς.

Ο Ηρόδοτος, Hdt.2.109.3, αναφέρει:

Και έχω τη γνώμη ότι έτσι ανακαλύφθηκε η γεωμετρία και (επαν-)ήλθε στην Ελλάδα. Όσο για το ηλιακό ρολόι και τον γνώμονα και τα δώδεκα μέρη της ημέρας οι Έλληνες τα έμαθαν από τους Βαβυλωνίους.

ή πρωτοτύπως:

.. δοκέει δε μοι ἐνθεῦτεν γεωμετρίη εὑρεθεῖσα ἐς τὴν Ἑλλάδα ἐπανελθεῖν: πόλον μὲν

Ο ιστοριογράφος ομιλεί εδώ περί δόξας του, ήτοι δοξασίας άλλως πίστεως / απόψεως που δεν στηρίζεται σε αποδείξεις, υιοθετεί μάλιστα τον όρο επανελθείν, αναφερόμενος μάλλον σε επανάκαμψη – επανεμφάνιση της τέχνης που μοιάζει έτσι να υπήρχε παλαιότερα αλλά εξηφανίσθη, ίσως στα χρόνια των λεγομένων σκοτεινών αιώνων![4] Οι πλείστοι ερευνητές παρακάμπτουν τις παρατηρήσεις του ιστοριογράφου, ακολουθώντας μια μάλλον απλοϊκή ή και χονδροειδή κατανόηση των λεγομένων του, τέτοιαν που να υπηρετεί το γνωστό αφήγημα της ανωτερότητος των Αιγυπτίων. Αξιοσημείωτο είναι εδώ ότι στο παραπάνω χωρίον ο Ηρόδοτος αναφέρεται και στον Σέσωστρι, Αιγύπτιο φαραώ της ΧΙΙ δυναστείας, κατά την βασιλεία του οποίου πιστοποιείται η παρουσία Μινωιτών αρχιτεκτόνων κατά την ανέγερση μνημειακών Αιγυπτιακών έργων, όπως καταδεικνύει η ανεύρεση στo εργοτάξιο κατασκευής της πυραμίδας του φαραώ δύο κανόνων μετρήσεως διαγραμμισμένων σύμφωνα με το Μινωικό μέτρο, μαζύ με κεραμεική τοπικής κατασκευής αλλά Μινωικού ύφους![5]

Ο Αριστοτέλης από την πλευρά του, Μetaph. A981.b23, αναφερόμενος σε θέματα επιστήμης & τέχνης έχει γράψει για την σχέση Αιγυπτίων και μαθηματικών τεχνών:

Γι’ αυτό εις την Αίγυπτον κατά πρώτον συνεστήθησαν οι μαθηματικές τέχνες. Καθόσον εκεί αφέθηκε διαθέσιμος χρόνος στο ιερατικό γένος.

Μεταξύ άλλων αναφορών που υποστηρίζουν την θέση του ο Ολλανδός μελετητής van der Waerden αναφέρεται και σε φράση αποδιδόμενη στον Δημόκριτο, όπου ο τελευταίος συγκρίνει τον εαυτό του με τους Αιγυπτίους αρπεδονάπτες, wikipedia, s.v. Harpedonaptai (Stretching the Cord), για να σημειώσει, όμως, την δική του ανωτερότητα![6] Πώς αυτό χρησιμοποιείται για να στηρίξει την άποψη του van der Waerden, αλλά και των δύο Ελλήνων μελετητών, δεν μας είναι κατανοητό, εκτός αν η όποια άποψή του είναι προειλημμένη και δεν χρειάζεται αποδείξεις. Αξιοσημείωτη είναι σχετικώς η άποψη ερευνητών ότι η Γεωμετρία στους Αιγύπτιους ήταν ακόμη και κατά την εποχή του Θαλού περιορισμένη στο στάδιο υπολογισμού εμβαδών, με άλλα λόγια, ήταν μόνο ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων για τέτοιους υπολογισμούς, συχνά με σφάλματα![6a]

Για να συνοψίσουμε, προς απόδειξη της από μέρους των Ελλήνων της κλασικής περιόδου αναγνωρίσεως της Αιγυπτιακής προπορείας στην Γεωμετρική και στις λοιπές μαθηματικές τέχνες παρέχονται αναφορές νομιζομένων απόψεων από τον Ηρόδοτο (για επανάκαμψη της γεωμετρίας στον Ελλαδικό χώρο), σχετική Αριστοτελική αναφορά στην τέχνη και άλλη αποδιδόμενη στον Δημοσθένη και ερμηνευόμενη με κάποια προκατάληψη! Δεν υπάρχει καμμία αναφορά στην από μέρους του Θαλού μέτρηση του ύψους πυραμίδας χρησιμοποιήσαντος την σκιά του εαυτού του, παρατηρώντας ότι αν κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά του ύψους της πυραμίδας.[7] Ομοίως παραλείπεται να αναφερθεί η από μέρους των Μινωιτών υιοθέτηση αρχιτεκτονικών εφαρμογών της ακολουθίας Fibonacci, ενώ αγνοείται - αποσιωπάται η ανάπτυξη τοιχογραφιών με χρήση υποδειγμάτων προηγμένων καμπυλών (καμπυλογράφων).[8]

Σύμφωνα, άλλωστε, με την Crawly η εικονογραφία των Μινωικών σφραγίδων υποβάλλει την ιδέα ότι οι Κρήτες είχαν γνώση διαφόρων γεωμετρικών καμπυλών, τις οποίες χρησιμοποιούσαν στην σφραγιδογλυφία τους.[9] Σχετική μελέτη του Δενδρινού επί του Μινωικού δακτυλιδιού με τις πέντε ιέρειες, ανακαλυφθέντος στον τάφο του Μυκηναίου Γρύπα Πολεμιστή, υποστηρίζει ότι οι Κρήτες είχαν γνώση της ελλείψεως, μάλιστα δε αυτής όπου ο λόγος των κυρίων διαμέτρων ισούται με τον χρυσό αριθμό.[10] Έμμεσες ενδείξεις για τις γεωμετρικές γνώσεις των Μινωιτών ενδεχομένως προκύπτουν από την μελέτη άλλων τεχνουργημάτων τους. Έτσι έχει υποστηριχθεί η ικανότητά τους να διχοτομούν και να τριχοτομούν την ορθή γωνία,[11] ενώ πιθανολογείται επίσης η από μέρους τους εξοικείωση με τον διαβήτη και τον κανόνα![12]

Ο κύκλος, η έλλειψη, η κωνική τομή, το τρίγωνο και το τόξο υπήρξαν μαθηματικές – γεωμετρικές οντότητες οι οποίες κατέστησαν οικείες στον Μινωικό πολιτισμό, αυτό δε το γεγονός καθιστούσε δυνατή την κατασκευή υποδειγμάτων – προτύπων (καμπυλογράφων ή stencil) των ανωτέρω σχημάτων, τα οποία ευρίσκοντο στην διάθεση των καλλιτεχνών. Η καλή κατάσταση των τοιχογραφιών του Ακρωτηρίου Θήρας επέτρεψε την εξονυχιστική μελέτη τους, ήδη δε υποστηρίζεται ότι στην εικονογράφηση τόσον των σχηματικών θεμάτων και των ανθοσυνθέσεων, όσον και των ανθρώπινων παραστάσεων έγινε χρήση τμημάτων μαθηματικών καμπυλών, οι οποίες χαράχθηκαν με την βοήθεια των προαναφερθέντων καμπυλογράφων. Τέτοια χρήση έχει σήμερα επιβεβαιωθεί στην κατασκευή των έργων με τις ‘Kροκοσυλλέκτριες’, στα ‘Γυμνά αγόρια’, στις απεικονίσεις σπειρών στην Ξεστή 3, αλλά και στην ‘Μυκηναία’.[13] Γιά παράδειγμα για την εικονογράφηση των ‘Kροκοσυλλεκτριών’ οι καλλιτέχνες χρησιμοποίησαν επτά γεωμετρικά υποδείγματα καμπυλών, ήτοι τεσσάρων υπερβολών, δύο ελλείψεων και δύο Αρχιμήδειων σπειρών, ενώ για την ‘Μυκηναία’ υιοθετήθηκαν δύο γραμμικές σπείρες και μία υπερβολή. H χρήση μαθηματικών καμπυλών για την αρτιότερη εικονογράφηση τοιχογραφιών εμφανίζεται για πρώτη φορά στα παγκόσμια χρονικά στο Ακρωτήριο Θήρας, έχουν δε διατυπωθεί διάφορες υποθέσεις σχετικές με την διαδικασία και τον εξοπλισμό υλοποιήσεως.[14]

Κλείνοντας το παρόν σχόλιο σημειώνουμε την αυστηρή διατύπωση του Neugebauer ότι τα Αιγυπτιακά μαθηματικά δεν συνεισέφεραν θετικά στην ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσεως,[15] σε κάθε περίπτωση σημειώνουμε ότι τα Μαθηματικά κατέστησαν επιστήμη με την παρέμβαση των Ελλήνων!

Η χρήση μαθηματικών καμπυλών στις τοιχογραφίες της Θήρας[16]

ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΑ Α'[17]

Η μελέτη των θολωτών Μυκηναϊκών τάφων έχει οδηγήσει ερευνητές να διατυπώσουν την άποψη ότι οι Έλληνες της Εποχής του Χαλκού κατείχαν πρακτικές γνώσεις μαθηματικών καμπυλών όπως η παραβολή, ενώ έχει επίσης υποστηριχθεί η από μέρους τους γνώση και χρήση Πυθαγορείων τριάδων, ήτοι τριάδων ακεραίων αριθμών οι οποίοι ικανοποιούσαν τον Πυθαγόρειο κανόνα: a2 = b2 + c2. Είναι χαρακτηριστικό ότι η πρώτη σαφής γραπτή αναφορά σε Πυθαγόρειες τριάδες στην Αίγυπτο προέρχεται από πάπυρο της Ελληνιστικής περιόδου, του 300 π.Χ. περίπου,[18] στην γνώση δε αποδίδεται Μεσοποταμιακή ή Ελληνική επιρροή![19]

ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΑ Β'

ΑΠΟ κ. ΣΛ (17.06.24)

Αγαπητέ Δημήτρη,

Αρχικά, απολογούμαι για την καθυστερημένη απάντηση. 

Ως προς την ουσία του κειμένου σου τώρα, δεν μου είναι απολύτως σαφής ο λόγος για τον οποίο παραπέμπεις στο σχετικό κείμενο με τον Δοξιάδη. Το εν λόγω άρθρο δεν πραγματεύεται την επίδραση των αιγυπτιακών μαθηματικών στα ελληνικά, ούτε θέτει ζητήματα ΄ανωτερότητας’ και ‘κατωτερότητας’, ό,τι και να σημαίνουν αυτά. Στόχος του είναι να εκθέσει την παρατήρηση ότι ορισμένα θεμελιακά μορφολογικά στοιχεία των κλασικών ελληνικών μαθηματικών εντοπίζονται και σε άλλες μορφές του αρχαίου ελληνικού λόγου, π.χ. στην ρητορική και στην ποίηση. Δεν βλέπω να τοποθετείσαι ως προς αυτό. 

Τώρα ως προς τη θέση ότι οι αρχαίοι έλληνες θεωρούσαν τους αρχαίους Αιγύπτιους πολύ ικανούς στα μαθηματικά, αυτό το λένε τα ίδια τα κείμενα (ορισμένα τα αναφέρεις, άλλα όχι). Σε κάθε περίπτωση όμως, αυτό δεν είναι το θέμα του εν λόγω άρθρου. Αν έχεις ειδικό ενδιαφέρον για τα αιγυπτιακά μαθηματικά, θα σε παραπέμψω στις πρόσφατες μελέτες της Imhausen. Ο Wan der Waerden είναι χρονικά ξεπερασμένος.

Με εκτίμηση, 

ΜΣ

3:45 μ.μ.

Δική μου απάντηση:

Μηδέν από μηδενός μηδέν με καθυστέρηση ανώτερη του έτους.. Σε περίπτωση που πράγματι ενδιαφέρεσαι για την άποψή μου βλ.:

(α) https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=pfbid02KZrmrMNs6pcMKPWjPZVEBjNUpumZyup22YqfNL34s94AUnK4vsh72CTF5xDxgPoxl&id=100052896971032&__cft__[0]=AZV2_XW6JRNKhuw9ujZ1PAoFHcekc_XdtgZj35FmSYCv2U6ic_01S57_-2EV8OPLZfPWoEbVzHUUvdrop3leDK2Oq0LEzG6_NVrM-5JXP8wbcCU3IA7qB8QlRRst5FZAlFo&__tn__=%2CO%2CP-R και 

(β) https://dnkonidaris.blogspot.com/2022/09/greeks-praised-highly-mathematical.html Κλείνω σημειώνοντας ότι σε κάποιες περιπτώσεις η αποφυγή απαντήσεως (που ακολούθησες αρχικώς..) μπορεί να αποδειχθεί επιτυχέστερη και πιό παραγωγική της μή-απαντήσεώς σου τώρα.. Χαιρετισμούς!

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

[1]. Doxiadis and Sialaros 2013, p. 368.
[2]. Κονιδάρης 2021, σελ. 13.

[3]. Doxiadis and Sialaros 2013, n. 8. Ανάλογου περιεχομένου είναι απόσπασμα του Πρόκλου, όπου αυτός επαναλαμβάνει ότι ο Θαλής έφερε στην Ελλάδα από την Αίγυπτο την θεωρίαν (Παπαιωάννου 2015, σελ. 12; Proclus [Morrow] 1970, p. 52, n. 24).

[4]. Ο Πλάτων στο έργο του Τίμαιος μας πληροφορεί ότι ο Σόλων ταξίδεψε και στην Αίγυπτο όπου ένας Αιγύπτιος ιερέας του είπε τα εξής: Σόλων Έλληνες αεί παίδες εστέ, γέρων δε Έλλην ουκ εστίν, δηλαδή Σόλωνα εσείς οι Έλληνες μένετε πάντα παιδιά και δεν υπάρχει γέροντας Έλληνας. Αξίζει πάντως να σημειωθεί ότι ο Ηρόδοτος, Hdt.2.15.3, θεωρεί ότι οι Αιγύπτιοι υπήρξαν από πάντα!: 

ἀλλ᾽ οὔτε Αἰγυπτίους δοκέω ἅμα τῷ Δέλτα τῷ ὑπὸ Ἰώνων καλεομένῳ γενέσθαι αἰεί τε εἶναι ἐξ οὗ ἀνθρώπων γένος ἐγένετο, προϊούσης δὲ τῆς χώρης πολλοὺς μὲν τοὺς ὑπολειπομένους αὐτῶν γενέσθαι πολλοὺς δὲ τοὺς ὑποκαταβαίνοντας. τὸ δ᾽ ὦν πάλαι αἱ Θῆβαι Αἴγυπτος ἐκαλέετο, τῆς τὸ περίμετρον στάδιοι εἰσὶ εἴκοσι καὶ ἑκατὸν καὶ ἑξακισχίλιοι. Βλ. και Palamidis 2024.

[5]. Κονιδάρης 2021, σημ. 48.
[6]. Κονιδάρης 2021, σημ. 47.

[6a]. Fragoulis et al. 2005, p. 319. Το σχετικό απόσπασμα έχει ως εξής: 

According to various researchers (Szabo 1968; Heath 1921/1981; Exarchakos 1997), starting from Proclus (‘Πρόκλος’), Geometry in Egyptians was even in Thales’ time confined to an area computing stage (‘Γης Μέτρησις’); in otherwords, it was only an ensemble of empirical rules for computing surfaces, frequently with errors.

[7]. Κονιδάρης 2021, σημ. 102. Την σχετική συμβολή του Θαλού φαίνεται να αμφισβητεί ατεκμηρίωτα ο Δαβίδ Warburton, θεωρώντας την ως τυχαίο γεγονός (!) ή, έστω, Βαβυλωνιακής προελεύσεως (Warburton 2016, p. 79)!!

[8]. Κονιδάρης 2021, σελ. 38, σημ. 128, 130.
[9]-[14]. Κονιδάρης 2021, σημ. 90 έως 95.
[15]. Κονιδάρης 2021, σημ. 46.

[16]. Fragoulis et al. 2005, fig. 1.
[17]. Κονιδάρης 2021, σημ. 80, 81.

[18]. Bernal 2001, pp. 261-262, n. 46. Στο πάπυρο αναφέρονται οι τριάδες: {3, 4, 5}, {5, 12, 13}, (20 21, 29}. 

[19]. Gillings 1978, p. 696; Palter 1993. Το απόσπασμα του Palter έχει ως εξής:

contains a list of no fewer than fifteen such triples - ranging in magnitude from {3, 4, 5} to {12,709, 13,500, 18,541} - together with "a strong indication that the fundamental formula for the construction of triplew of Pythagorean numbers was known" (1957, 40). A late Egyptian papyrus, by the way, from around 300 BCE, contains three Pythagorean triples - {3, 4, 5}, {5, 12, 13}, (20 21, 29} - showing, therefore, obvious Babylonian or Greek influence (see Gillings 1982, 690).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Κονιδάρης, Δ. Ν. 2021. Ιστορία των θετικών τεχνών και επιστημών κατά την αρχαιότητα, lulu.

https://www.academia.edu/347960/Sing_Muse_of_the_Hypotenuse_Influences_of_Poetry_and_Rhetoric_on_the_Formation_of_Greek_Mathematics?email_work_card=title&li=0

https://books.google.gr/books?id=-v3oBQAAQBAJ&pg=PA368&lpg=PA368&dq=Proclus,+In+Eucl.+64.18&source=bl&ots=6c8yfyE8-g&sig=ACfU3U1cgnIULh4cOKYgn4XSybiUJbWstw&hl=el&sa=X&ved=2ahUKEwjhooL58pr5AhUbiv0HHfXFD-EQ6AF6BAgDEAM#v=onepage&q=Proclus%2C%20In%20Eucl.%2064.18&f=false

Doxiadis, A. and M. Sialaros. 2013. “Sing Muse on the Hypotenuse. Influences of Poetry and Rhetoric on the Formation of Greek Mathematics,” in Writing Science: Medical and Mathematical Authorship in Ancient Greece, ed. Markus Asper, pp. 367-410.

https://www.academia.edu/21210624/Geometric_templates_used_in_the_Akrotiri_Thera_wall_paintings

Papaodysseus, C., M. Panagopoulos, P. Rousopoulos, G. Galanopoulos, & C. Doumas. 2008. "Geometric templates used in the Akrotiri (Thera) wall-paintings," Antiquity 82, pp. 401-408.

https://archive.org/details/all-from-one-a-guide-to-proclus-pdfdrive.com/page/n3/mode/2up?view=theater
Pieter D’Hoine and M. Martijn, eds. 2017. All From One, A Guide To Proclus, Oxford.

http://me.math.uoa.gr/dipl/2014-15/dipl_papaioannou.pdf
Παπαϊωάννου, Μ. 2015. Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά. Μια Γενετική Αναζήτηση" (διπλ. εργ. ΕΚΠΑ).

https://books.google.gr/books?redir_esc=y&hl=el&id=JZEHj2fEmqAC&q=65.3#v=onepage&q=Egypt&f=false

Proclus. 1970. A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, trans. G. R. Morrow, Princeton.

https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783111326511-031/html?fbclid=IwAR2AjVeCnm5oKSd7Z2-Xoelyo-sXP1lwOznjspzpIcPYEB_-KjNfxFTgM5U

Palamidis, A. 2024. "The Names of Greek Gods. Divine Signs or Human Creations?," in From the book What’s in a Divine Name?, ed. A, Palamidis and C. Bonnet, pp. 591-619.

https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=pfbid02tLtMHxHQfHwpJkH5ZGePL5ZFo9fss9M3do766BrqeYcy6A94hKuGVMvEc8fGphUdl&id=100052896971032&__cft__[0]=AZUA6saF0nyqKMUYDIeXo4VzUkA3OcNWuHQ9uAhSKoqLbVnaHlfuhJ8IVxeBxE_Q7UvgsX_HodNW_QpgG_fZHgLkO3f7I4-92ks3LuEmChmN8bCxj0JuSrXAqpm1BUID-2thg6hIkKYjRBYe8PftLYYZ4LQ4n_dRdNJgTOmo4NMc9w&__tn__=%2CO%2CP-R

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΓΥΠΤΟ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΟΥΣ?

https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=pfbid02fqx2EeMS9Nqqea8SzESxbdC4HwZ8dbkcpGz4HfsV15Cw48pNZnWeo6NCjnixSG5Xl&id=100052896971032&__cft__[0]=AZW7whJP0FRBUu35PVP3UNOfbYwDuNRYEC5Rlp0lFEtPx1ygivwE1MoC0mOdTc2JHG-SnGMwNc84M8880Zq6gFfRvAvgbKes84UBJXDpu6RWGi6fBDXExWU8Un80W0Ker7Q&__tn__=%2CO%2CP-R

ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ & ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΝΕΟΛΙΘΙΚΟ ΑΙΓΑΙΟ 

https://www.google.com/search?q=Palter%2C+R.+(1993).+%E2%80%98%E2%80%98Black+Athena%2C+Afro-Centrism%2C+and+the+History+of+Science.%E2%80%99%E2%80%99+History+of+Science+31.3%3A+227%E2%80%93287.+Repr.+Lefkowitz+and+Rogers%2C+pp.+209%E2%80%93268.&oq=Palter%2C+R.+(1993).+%E2%80%98%E2%80%98Black+Athena%2C+Afro-Centrism%2C+and+the+History+of+Science.%E2%80%99%E2%80%99+History+of+Science+31.3%3A+227%E2%80%93287.+Repr.+Lefkowitz+and+Rogers%2C+pp.+209%E2%80%93268.&gs_lcrp=EgZjaHJvbWUyBggAEEUYOdIBDTUyNzQ2MjE1OGowajCoAgCwAgA&sourceid=chrome&ie=UTF-8#:~:text=Black%20Athena%20Revisited%20(edited%20by%20Mary%20R.%20Lefkowitz).pdf

https://books.google.gr/books?id=AClFWV6PE8wC&printsec=frontcover&hl=el#v=onepage&q=Palter&f=false

Lefkowitz, M. R. and G. MacLean Rogers, eds. 1996. Black Athena Revisited, Chapel Hill / London.

Palter, R. 1993. “Black Athena, Afro-Centrism, and the History of Science,” History of Science 31.3, pp. 227–287. (Repr. in Lefkowitz and Rogers, pp. 209–268).

https://arxiv.org/pdf/1004.0025

Abdulaziz, A. A. 2010. "The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples," Arxiv, pp. 1-34.

https://books.google.gr/books?id=DoDMIVUIYFwC&printsec=frontcover&hl=el#v=onepage&q=triple&f=false

Gillings, R. J. [1972]1981. Mathematics in the Time of the Pharaohs, New York: Dover.

Gillings, R. J. 1978. ‘‘The Mathematics of Ancient Egypt.’’ in Dictionary of Scientific Biography XV (Supplement r), ed. C. C. Gillispie, New York: Scribner, p. 696.

Bernal, M. 2001. Black Athena Writes Back. Martin Bernal responds to his critics, ed. D. Chioni Moore, Duke University Press Durham & London.

 

https://www.journals.uchicago.edu/doi/abs/10.1086/351235

van der Waerden, B. L. 1974. Rev. of R.A. Parker, Demotic Mathematical Papyri, in Isis 65 (1), pp. 110-111.

https://www.academia.edu/35021460/EGYPTS_ROLE_IN_THE_ORIGINS_OF_SCIENCE_AN_ESSAY_IN_ALIGNING_CONDITIONS_EVIDENCE_AND_INTERPRETATIONS

Warburton, D. 2016. "Egypt’s Role in the Origins of Science. An Essay in Aligning Conditions, Evidence, and Interpretations," Journal of Ancient Egyptian Interconnections 9, pp. 72–94.

Fragoulis, D., A. Skembris, C. Papaodysseus, P. Rousopoulos, Th. Panagopoulos, M. Panagopoulos, C. Triantafyllou, A. Vlachopoulos, and C. Doumas. 2005. "Origins and Application of Geometry in the Thera Prehistoric Civilization Ca. 1650 BC," Centaurus 47, pp. 316–340.

doi:10.1111/j.1600-0498.2005.00029.x

ΠΛΕΟΝ ΠΡΟΣΦΑΤΟΣ ΕΜΠΛΟΥΤΙΣΜΟΣ - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: 040425