Aristotle’s Three Logical Figures: A Proposed Reconstruction*Reviel Netz
https://brill.com/view/journals/phro/68/1/article-p62_3.xml?ebody=pdf-63199Abstract
Full Text
Metadata
References
Figures
Metrics
Abstract
Based on the evidence of the likely near-contemporary mathematical practice of diagrams, this article proposes a possible reconstruction of Aristotle’s three figures as introduced in Prior Analytics 1.4–6.
Keywords: Aristotle; Prior Analytics; reconstruction
Περίληψη
Με βάση τα στοιχεία της πιθανώς σχεδόν σύγχρονης μαθηματικής πρακτικής των διαγραμμάτων, αυτό το άρθρο προτείνει μια πιθανή ανακατασκευή των τριών σχημάτων του Αριστοτέλους όπως παρουσιάζονται στα Αναλυτικά Πρότερα / Prior Analytics 1.4–6. {ΣτΜ: ήτοι τα κεφάλαια 4 έως 6 του α' βιβλίου, δηλαδή APr. 24a - 26b}
Λέξεις-κλειδιά: Αριστοτέλης; Προηγούμενα Analytics. ανοικοδόμηση
Already Einarson 1936 pointed out the debt Aristotle’s logic owed to the mathematics of his time. Smith 1978 may have been the first to point out specifically that the alphabetic labels used in Aristotle’s logic—the many A, B, C— must have reflected diagrams in the manner of Greek mathematics.1 Indeed, (1) Aristotle was deeply aware of the mathematics of his time;2 (2) there was a significant burst of mathematical activity in the fourth century, much of it by authors related to Plato’s circle and so directly familiar to Aristotle;3 and, finally, (3) the use of lettered diagrams—indeed, of illustration in general—was, throughout antiquity, specific to mathematics and extremely rare in any other context.4 We can safely say: when Aristotle refers to letters, he almost certainly refers to diagrams in the Greek mathematical manner.
Ο Einarson ήδη από το 1936 επεσήμανε το χρέος που οφείλει η λογική του Αριστοτέλους στα μαθηματικά της εποχής του. Ο Smith το 1978 πιθανόν να ήταν ο πρώτος που επεσήμανε συγκεκριμένα ότι οι αλφαβητικές ετικέτες που χρησιμοποιούνται στη λογική του Αριστοτέλους - τα πολλά Α, Β, Γ - πρέπει να αντανακλούσαν διαγράμματα με τον τρόπο των ελληνικών μαθηματικών.1 Πράγματι, (1) Ο Αριστοτέλης γνώριζε βαθιά τα μαθηματικά της εποχής του·2 (2) υπήρξε μια σημαντική έκρηξη μαθηματικής δραστηριότητας τον τέταρτο αιώνα, μεγάλο μέρος της από συγγραφείς που σχετίζονται με τον κύκλο του Πλάτωνος και τόσο άμεσα εξοικειωμένοι με τον Αριστοτέλη·3 και, τέλος, (3) η χρήση των διαγραμμάτων επισημειωμένων με γράμματα — πράγματι, γενικώς για ενδεικτικούς σκοπούς — είχαν μεγάλη διάδοση, σε όλη την αρχαιότητα, ειδικά για τα μαθηματικά ενώ ήταν εξαιρετικά σπάνια σε οποιοδήποτε άλλο πλαίσιο.4 Μπορούμε να υποστηρίξουμε με ασφάλεια: όταν ο Αριστοτέλης αναφέρεται στα γράμματα, σχεδόν σίγουρα αναφέρεται σε διαγράμματα / σχέδιαμε κατά τον ελληνικό μαθηματικό τρόπο.
That Aristotle’s logical diagrams are now absent from the manuscripts of the Prior Analytics is disappointing but not surprising. There are cases where the Aristotelian corpus invokes diagrams, internal to the text, which were then lost to the textual transmission,5 and other cases where the transmitted Aristotelian text expected its readers to refer to diagrams external to the text itself.6 Either could obtain here. Smith himself did not try to reconstruct Aristotle’s logical diagrams but a number of proposals have been made in the past. Already in Late Antiquity, commentators produced visual pedagogic tools to help readers navigate Aristotle’s syllogisms. Modern scholars identify the first such use in Ammonius, early in the 6th century CE, with examples that clarify, for instance, statements in modal logic by the use of particular examples and a visual setting out of the relations between the terms:7
Το ότι τα λογικά διαγράμματα του Αριστοτέλους απουσιάζουν πλέον από τα χειρόγραφα του έργου Αναλυτικά Πρότερα - Prior Analytics είναι απογοητευτικό, αλλά δεν αποτελεί έκπληξη. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου το αριστοτελικό σώμα επικαλείται διαγράμματα, εσωτερικά του κειμένου, τα οποία στη συνέχεια χάθηκαν κατά την μετάδοση του κειμένου,5 και άλλες περιπτώσεις όπου το μεταδιδόμενο αριστοτελικό κείμενο περίμενε από τους αναγνώστες του να αναφερθούν σε διαγράμματα εκτός του ίδιου του κειμένου. Ο ίδιος ο Σμιθ δεν προσπάθησε να ανακατασκευάσει τα λογικά διαγράμματα του Αριστοτέλους, αλλά έχουν γίνει αρκετές προτάσεις στο παρελθόν. Ήδη στην Ύστερη Αρχαιότητα, οι σχολιαστές παρήγαγαν οπτικά παιδαγωγικά εργαλεία για να βοηθήσουν τους αναγνώστες να περιηγηθούν στους συλλογισμούς του Αριστοτέλους. Οι σύγχρονοι μελετητές εντοπίζουν την πρώτη τέτοια χρήση στον Αμμώνιο, στις αρχές του 6ου αιώνα μ.Χ., με παραδείγματα που διευκρινίζουν, για παράδειγμα, δηλώσεις στη τροπική MODAL λογική με τη χρήση συγκεκριμένων παραδειγμάτων και μια οπτική περιγραφή των σχέσεων μεταξύ των όρων:7
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
The evidence from silence, prior to Ammonius (if this is indeed by Ammonius and not by later scribes) is not meaningless—Aristotle’s logic is among the most annotated texts from antiquity and the absence of such ancient figures, prior to Ammonius, is telling. It was likely in the same era as Ammonius, for instance, that the famous ‘Porphyry’s tree’ was first drawn, perhaps in the context of medical education in Alexandria.8 Diagrams such as those (perhaps) introduced by Ammonius or some other late ancient authors, as well as Porphyry’s tree, turn a conceptual relation into a two-dimensional structure, emphasizing the person of the teacher as the reader’s guide into a bookish world of learning: the typical move of late ancient and medieval commentary.
Οι αποδείξεις από τη σιωπή, πριν από τον Αμμώνιο (αν αυτό είναι πράγματι από τον Αμμώνιο και όχι από μεταγενέστερους γραφείς) δεν είναι άνευ νοήματος - η λογική του Αριστοτέλους είναι από τα πιο σχολιασμένα κείμενα ήδη από την αρχαιότητα και η απουσία τέτοιων αρχαίων μορφών, πριν από τον Αμμώνιο, είναι ενδεικτική. Ήταν πιθανό την ίδια εποχή με τον Αμμώνιο, για παράδειγμα, να σχεδιάστηκε για πρώτη φορά το περίφημο δένδρο του Πορφυρίου, ίσως στο πλαίσιο της ιατρικής εκπαιδεύσεως στην Αλεξάνδρεια.8 Διαγράμματα όπως αυτά (ίσως) που εισήγαγε ο Αμμώνιος ή κάποιοι άλλοι ύστεροι αρχαίοι συγγραφείς, όπως και το δένδρο του Πορφύριου, μετατρέπουν μιαν εννοιολογική σχέση σε μια δισδιάστατη δομή, δίδοντας έμφαση στο πρόσωπο του δασκάλου ως οδηγό του αναγνώστου σε έναν βιβλιοθηρικό κόσμο μαθήσεως: η τυπική κίνηση / εξέλιξη του σχολιασμού κατά την ύστερη αρχαιότητα και τον μεσαίωνα.
Το Δένδρο της Ζωής του Πορφυρίου (τοιχογραφία 18ου αι. στην βιβλιοθήκη του μοναστηριού Schussenried)
Many modern authors took such medieval diagrams as their inspiration for the reconstruction of Aristotle’s own lost diagrams. So, for instance, Kneale and Kneale 1962, 71–2:
Πολλοί σύγχρονοι συγγραφείς πήραν τέτοια μεσαιωνικά διαγράμματα ως έμπνευση για την ανακατασκευή των χαμένων διαγραμμάτων του ίδιου του Αριστοτέλους. Έτσι, για παράδειγμα, οι Kneale and Kneale 1962, 71–2:
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
Rose 1968, 113–16 was overall cautious and explicitly noted the limits of relying upon the medieval tradition, and yet seems to have endorsed (cautiously) the following version:
Ο Rose 1968, 113–16 ήταν γενικά επιφυλακτικός και σημείωσε ρητά τα όρια της στηρίξεως στην μεσαιωνική παράδοση, και ωστόσο φαίνεται ότι ενέκρινε (με προσοχή) την ακόλουθη εκδοχή:
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
Such proposals are usually made in passing and without undue confidence. The only author I am familiar with to devote considerable effort to this reconstruction is Wesoly, in a series of spirited articles from 1996 onwards (followed by Englebretsen 2020). Wesoly’s diagrams possess much greater detail, with precise two-dimensional arrangements as well as arrows so that the visual annotation, as such, becomes in some sense logically sufficient. It seems that this logical efficacy is Wesoly’s main criterion for his historical reconstruction. So, Wesoly 2012, 198:
Τέτοιες προτάσεις γίνονται συνήθως εν παρόδω και χωρίς αδικαιολόγητη εμπιστοσύνη. Ο μόνος συγγραφέας με τον οποίον είμαι εξοικειωμένος για να αφιερώσει σημαντική προσπάθεια σε αυτήν την ανασυγκρότηση είναι ο Wesoly, σε μια σειρά εμπνευσμένων άρθρων από το 1996 και μετά (ακολουθούμενος από τον Englebretsen 2020). Τα διαγράμματα του Wesoly διαθέτουν πολύ μεγαλύτερη λεπτομέρεια, με ακριβείς δισδιάστατες διευθετήσεις καθώς και βέλη, έτσι ώστε ο οπτικός σχολιασμός, ως τέτοιος, να γίνεται κατά κάποιον τρόπο λογικά επαρκής. Φαίνεται ότι αυτή η λογική αποτελεσματικότητα είναι το κύριο κριτήριο του Wesoly για την ιστορική του ανασυγκρότηση. Έτσι, Wesoly 2012, 198:
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
What is absent from such modern reconstructions is an effort to locate Aristotle in the context of the mathematical practice that, after all, must have inspired him. Let us turn to this inspiration.
Αυτό που απουσιάζει από τέτοιες σύγχρονες ανακατασκευές είναι μια προσπάθεια τοποθετήσεως - εντάξεως του Αριστοτέλους στο πλαίσιο της μαθηματικής πρακτικής που, άλλωστε, πρέπει να τον ενέπνευσε. Ας στραφούμε σε αυτή την έμπνευση.
There are several contexts in which Greek mathematical texts refer to non-spatial entities, with some or all of the entities referred to, in the text, by single letters. It so happens that all of them use the very same diagrammatic principles, so that, if indeed these are Aristotle’s inspiration, the form of his logical diagrams becomes very clear.
Υπάρχουν διάφορα πλαίσια στα οποία τα ελληνικά μαθηματικά κείμενα αναφέρονται σε μη χωρικές οντότητες, με ορισμένες ή όλες τις οντότητες να αναφέρονται, στο κείμενο, με την βοήθεια μεμονωμένων γραμμάτων. Συμβαίνει ότι όλοι χρησιμοποιούν τις ίδιες διαγραμματικές αρχές, έτσι ώστε, αν όντως αυτές συνιστούν την έμπνευση του Αριστοτέλους, η μορφή των λογικών του διαγραμμάτων γίνεται πολύ σαφής.
The main extant sources are the treatment of numbers, in Euclid’s Elements Books 7–9; the treatment of general magnitudes in proportion, in Euclid’s Elements 5; and the treatment of notes, in the ps.-Euclidean Sectio Canonis. The comparison to music is the most obvious (and was the one emphasized by both Einarson 1936 as well as Smith 1978). Greek musical theory often proceeds by considering two concepts: single notes, and the intervals defined by them. This is reminiscent of the way in which, in Aristotle’s logic, one works through two main objects: single terms (such as ‘animal’, ‘horse’) and two-term premises (such as ‘Animal belongs to all horse’). In fact, one finds a similar structure in general proportion theory, with magnitudes—and their ratios. And since the discussion in Euclid’s arithmetical books, as well, usually concerns the ratios between numbers, we find a large, coherent field of applications, all reminiscent of Aristotle’s logic, studying non-spatial terms and their dyadic relations.
Οι κύριες σωζόμενες πηγές είναι η επεξεργασία των αριθμών, στα Στοιχεία του Ευκλείδου, (Euclid’s Elements Books 7–9), η αντιμετώπιση των γενικών μεγεθών σε αναλογία, στα Στοιχεία του Ευκλείδη 5, και η επεξεργασία των σημειώσεων, στο ps.-Euclidean Sectio Canonis. Η σύγκριση με την μουσική είναι η πιο προφανής (και ήταν αυτή που τονίστηκε τόσο από τον Einarson 1936 όσο και από τον Smith 1978). Η ελληνική μουσική θεωρία συχνά προχωρά εξετάζοντας δύο έννοιες: τις μεμονωμένες νότες και τα διαστήματα που ορίζονται από αυτές. Αυτό θυμίζει τον τρόπο με τον οποίο, στη λογική του Αριστοτέλη, εργάζεται κανείς μέσα από δύο κύρια αντικείμενα: μεμονωμένους όρους (όπως «ζώο», «άλογο») και προτάσεις δύο όρων (όπως «Το ζώο ανήκει σε όλα τα άλογα»). Στην πραγματικότητα, βρίσκουμε μια παρόμοια δομή στη γενική θεωρία αναλογιών, με μεγέθη - και τους λόγους τους. Και επειδή η συζήτηση στα αριθμητικά βιβλία του Ευκλείδου, επίσης, συνήθως αφορά στις αναλογίες μεταξύ των αριθμών, βρίσκουμε ένα μεγάλο, συνεκτικό πεδίο εφαρμογών, που όλα θυμίζουν τη λογική του Αριστοτέλους, όπου μελετώνται οι μη χωρικοί όροι και οι αμοιβαίες σχέσεις τους.
In the extant manuscripts, there are two major ways in which the terms belonging to those fields are represented.9 In the simplest case, the individual terms are represented as single lines, each set separately, all parallel to each other; next to each, its alphabetic label. Sectio Canonis 1 is a simple example:10
Στα σωζόμενα χειρόγραφα, υπάρχουν δύο κύριοι τρόποι με τους οποίους παρουσιάζονται οι όροι που ανήκουν σε αυτά τα πεδία.9 Στην απλούστερη περίπτωση, οι μεμονωμένοι όροι αναπαρίστανται ως μεμονωμένες γραμμές, κάθε μία χωριστά, όλες παράλληλοι μεταξύ τους. δίπλα δίπλα, η αλφαβητική τους ετικέτα. Το Sectio Canonis 1 είναι ένα απλό παράδειγμα:10
Let there be an interval BC, and let B be a multiple of C, and let B be to D as is C to B. I assert then that D is a multiple of C.
Έστω ένα διάστημα BC, και έστω B είναι πολλαπλάσιο του C, και έστω B στο D όπως είναι το C στο B. Ισχυρίζομαι τότε ότι το D είναι πολλαπλάσιο του C.
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
A somewhat more complicated case arises where one needs to sum up, or subtract, terms. Now, in music, one note added to another does not make a third note, but, instead, it makes an ontologically distinct object—the interval. (Occasionally, however, notes are considered strictly as numerical values, and then they may be summed up or subtracted.). A magnitude, however, added to a magnitude, does give rise to a third magnitude, hence representations such as those of Euclid’s Elements 5.1:
Μια κάπως πιο περίπλοκη περίπτωση προκύπτει όταν κάποιος χρειάζεται να προσθέσει - συνοψίσει ή να αφαιρέσει όρους. Τώρα, στην μουσική, μια νότα που προστίθεται σε μια άλλη δεν κάνει μια τρίτη νότα, αλλά, αντίθετα, δημιουργεί ένα οντολογικά διακριτό αντικείμενο - το διάστημα. (Περιστασιακά, ωστόσο, οι σημειώσεις θεωρούνται αυστηρά ως αριθμητικές τιμές και στη συνέχεια μπορούν να συνοψιστούν ή να αφαιρεθούν.). Ένα μέγεθος, ωστόσο, που προστίθεται σε ένα μέγεθος, οδηγεί σε ένα τρίτο μέγεθος, εξ ου και αναπαραστάσεις όπως αυτές των Στοιχείων 5.1 του Ευκλείδου:
Let any number of magnitudes whatever AB, CD be respectively equimultiples of any magnitudes E, F equal in multitude. I say that, whatever multiple AB is of E, that multiple shall AB, CD also be of E, F…. Let AB be divided into the magnitudes AG, GB equal to E …11
Έστω οποιοσδήποτε αριθμός μεγεθών οποιοσδήποτε AB, CD είναι αντίστοιχα ισοδύναμα πολλαπλάσια οποιωνδήποτε μεγεθών E, F ίσο σε πλήθος. Υποστηρίζω ότι, ό,τι πολλαπλάσιο AB είναι του E, αυτό το πολλαπλάσιο θα είναι το AB, το CD επίσης του E, F…. Έστω το AB διαιρούμενο στα μεγέθη AG, GB ίσα με E …11
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
In the course of Elements 5.1 one considers AB as a composite of AG, GB; hence the magnitudes AG, GB are each defined by two labels. The magnitudes E, F do not participate in such compositions and therefore each is labeled by a single letter. In this case, then, we still have lines set in parallel, but some of the lines have a single letter next to them while others have three or more letters, referring to two or more elements, each bounded and labeled by the combination of two letters.
Κατά την διερεύνηση των Στοιχείων 5.1 κάποιος θεωρεί το AB ως σύνθετο εκ των AG, GB. Ως εκ τούτου, τα μεγέθη AG, GB καθορίζονται από δύο ετικέτες. Τα μεγέθη E, F δεν συμμετέχουν σε τέτοιες συνθέσεις και επομένως το καθένα επισημαίνεται με ένα μόνον γράμμα. Σε αυτήν την περίπτωση, λοιπόν, εξακολουθούμε να έχουμε γραμμές παράλληλες, αλλά μερικές από τις γραμμές έχουν ένα μόνο γράμμα δίπλα τους, ενώ άλλες έχουν τρία ή περισσότερα γράμματα, που αναφέρονται σε δύο ή περισσότερα στοιχεία, το καθένα οριοθετημένο και χαρακτηρισμένο από το συνδυασμό δύο γραμμάτων.
The examples from music, proportion theory and arithmetic are not only widespread, and coherent, but are even close in time to Aristotle’s (in general, it seems clear that mathematics directly inspired by music theory was especially dominant in the fourth century BCE12). It is worth noting that the practice is found in later sources as well: so, for instance, Archimedes’ Sphere and Cylinder 1.2, solving a problem in geometrical proportion theory, where AB, D are set out as general magnitudes (see the figure on the next page).13
Τα παραδείγματα από τη μουσική, την θεωρία αναλογιών και την αριθμητική δεν είναι μόνο διαδεδομένα και συνεκτικά, αλλά είναι ακόμη και χρονικώς πλησίον σε αυτά του Αριστοτέλους (γενικά, φαίνεται ξεκάθαρο ότι τα μαθηματικά που εμπνέονται άμεσα από την μουσική θεωρία ήταν ιδιαίτερα κυρίαρχα τον τέταρτο αιώνα π.Χ.12). Αξίζει να σημειωθεί ότι η πρακτική συναντάται και σε μεταγενέστερες πηγές: έτσι, για παράδειγμα, η Σφαίρα του Αρχιμήδους και ο Κύλινδρος 1.2, λύνοντας ένα πρόβλημα στην θεωρία γεωμετρικών αναλογιών, όπου τα AB, D εκτίθενται ως γενικά μεγέθη (βλ. η επόμενη σελίδα).13
In short, there is no ambiguity in the historical evidence, and to the extent that we believe that mathematics was indeed Aristotle’s inspiration, we know precisely which diagrams it was that inspired him: parallel lines, with letters set next to them.
Εν ολίγοις, δεν υπάρχει καμμία ασάφεια στα ιστορικά στοιχεία, και στον βαθμό που πιστεύουμε ότι τα μαθηματικά απετέλεσαν πράγματι την έμπνευση του Αριστοτέλους, γνωρίζουμε ακριβώς ποια διαγράμματα ήταν αυτά που τον ενέπνευσαν: παράλληλες γραμμές, με γράμματα δίπλα τους.
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
The text of the Prior Analytics rather infrequently refers to the combination of two labeled terms (the very first introduction of labeled terms, 25a14, is one such exception: hē AB protasis, ‘the premise AB’, and there are a few similar uses later in the treatise. These, as noted, are the functional equivalent of ‘intervals’ in music). Much more often, the text refers simply to single terms taken in isolation. And, indeed, such terms are like musical notes, not like mathematical magnitudes. A ‘horse’, added to an ‘animal’, does not make a new, third term. It can only make an ontologically distinct category—a premise. To the extent that Aristotle is inspired by mathematics, then, his diagrams should take the form of parallel lines, with a single letter next to each.
Το κείμενο των Αναλυτικών Προτέρων αναφέρεται μάλλον σπάνια στον συνδυασμό δύο όρων με σήμανση (ετικέτα) (η πρώτη εισαγωγή των όρων με ετικέτα, 25a14, είναι μια τέτοια εξαίρεση: Η AB πρότασις, 'the premise AB', και υπάρχουν μερικές παρόμοιες χρήσεις αργότερα στην πραγματεία.{13ΣτΜ} Αυτά, όπως σημειώθηκε, είναι το λειτουργικό ισοδύναμο των «διαστημάτων» στην μουσική). Πολύ πιο συχνά, το κείμενο αναφέρεται απλώς σε μεμονωμένους όρους που λαμβάνονται μεμονωμένα. Και, πράγματι, τέτοιοι όροι είναι σαν μουσικές νότες, όχι σαν μαθηματικά μεγέθη. Ένα «άλογο», που προστίθεται σε ένα «ζώο», δεν κάνει νέο, τρίτο όρο. Μπορεί να κάνει μόνο μια οντολογικά διακριτή κατηγορία — μια πρόταση. Στον βαθμό λοιπόν που ο Αριστοτέλης εμπνέεται από τα μαθηματικά, τα διαγράμματά του θα πρέπει να έχουν τη μορφή παράλληλων γραμμών, με ένα μόνο γράμμα δίπλα σε κάθε μία.
Fortunately for us, Aristotle does briefly discuss the spatial structure of the figures as they are introduced. So, with the first figure (25b35–7):14
Ευτυχώς για εμάς, ο Αριστοτέλης συζητά εν συντομία την χωρική δομή των μορφών καθώς παρουσιάζονται. Έτσι, με το πρώτο σχήμα (25b35–7):14
I call that the middle which both is itself in another and has another in it — this is also middle in position— and call both that which is itself in another and that which has another in it extremes.{14αΣτΜ}
Ονομάζω μέσον όρον αυτόν που και τα δύο είναι το ίδιο σε έναν άλλο και έχει ένα άλλο μέσα - αυτό είναι επίσης μεσαίο σε θέση - και ονομάζω άκρα και αυτό που είναι το ίδιο σε άλλο και αυτό που έχει άλλο μέσα του.{14βΣτΜ}
Obviously Aristotle uses the word ‘middle’ primarily in a logical sense, but he notes that, in the figure, the object standing for the logical middle is in fact in the spatial middle of the figure (‘in position’); this helps to clarify that ‘extremes’, too, are so-called because they are at the two spatial extremes of this arrangement which we can now understand as three parallel lines. Aristotle later on refers to one of those extremes as ‘greater’ and to the other as ‘smaller’. In the usage of Aristotle scholars those adjectives become ‘major’ and ‘minor’ and scholars have got used to think of those terms as marking a logical position in the syllogism, but it is extremely likely, given the presence of a figure with straight lines, that Aristotle in fact refers to the sizes of the lines.15 In this case of the first figure, then, relations of size are replicated as relations in space: the line in the middle is also middle in size.
Προφανώς ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί τη λέξη 'μέσος όρος' κυρίως με λογική έννοια, αλλά σημειώνει ότι, στο σχήμα, το αντικείμενο που αντιπροσωπεύει τον λογικό μέσο βρίσκεται στην πραγματικότητα στο χωρικό μέσον του σχήματος ('τῇ θέσει'). Αυτό βοηθά να διευκρινιστεί ότι τα «άκρα», επίσης, ονομάζονται επειδή βρίσκονται στα δύο χωρικά άκρα αυτής της διατάξεως που μπορούμε τώρα να κατανοήσουμε ως τρεις παράλληλες γραμμές. Ο Αριστοτέλης αργότερα αναφέρεται σε ένα από αυτά τα άκρα ως «μεγαλύτερο» {μεῖζον ἄκρον} και στο άλλο ως «μικρότερο» {ἔλαττον}. Κατά τη χρήση των μελετητών του Αριστοτέλους, αυτά τα επίθετα γίνονται «μείζονα» και «ελάσσονα» και οι μελετητές έχουν συνηθίσει να θεωρούν αυτούς τους όρους ως μια λογική θέση στον συλλογισμό, αλλά είναι εξαιρετικά πιθανό, δεδομένης της παρουσίας μιας μορφής με ευθείες γραμμές, ότι ο Αριστοτέλης στην πραγματικότητα αναφέρεται στα μεγέθη των γραμμών.15 Σε αυτή την περίπτωση, λοιπόν, του πρώτου σχήματος, οι σχέσεις μεγέθους αναπαράγονται ως σχέσεις στο χώρο: η γραμμή στη μέση είναι επίσης μεσαίου μεγέθους.{15αΣτΜ}
So far, then, we have established that we have three parallel lines marked (in Latin transliteration) from A to C and arranged in that order, such that A>B>C in length. There are in principle two degrees of freedom, depending on the direction by which we wish to move from A to C: left to right or right to left, top to bottom or bottom to top. (It would be very surprising, given the mathematical examples or indeed given general cognitive considerations, to have anything other than a single horizontal or vertical arrangement).
Μέχρι στιγμής, λοιπόν, έχουμε διαπιστώσει ότι έχουμε τρεις παράλληλες γραμμές σημειωμένες (με λατινική μεταγραφή) από το A έως το C και διατεταγμένες με αυτήν τη σειρά, έτσι ώστε σε μήκος A>B>C. Υπάρχουν καταρχήν δύο βαθμοί ελευθερίας, ανάλογα με την κατεύθυνση με την οποία θέλουμε να κινηθούμε από το Α στο Γ: από αριστερά προς τα δεξιά ή από δεξιά προς τα αριστερά, από πάνω προς τα κάτω ή από κάτω προς τα πάνω. (Θα ήταν πολύ περίεργο, λαμβανομένων υπόψη των μαθηματικών παραδειγμάτων ή των γενικών γνωστικών εκτιμήσεων, να υπάρχει οτιδήποτε άλλο εκτός από μια ενιαία οριζόντια ή κάθετη διάταξη).
The second figure is discussed in slightly greater detail (26b35–39):
Το δεύτερο σχήμα συζητείται με λίγο μεγαλύτερη λεπτομέρεια (26b35–39):
… I call such a figure the second. In it, I call that term the middle which is predicated of both, and call those of which it is predicated extremes; the major extreme is the one lying next to the middle, while the minor extreme is the one farther from the middle. (The middle is placed outside the extremes and is first in position).
… Ονομάζω ένα τέτοιο σχήμα το δεύτερο. Σε αυτό το συλλογιστικό σχήμα, ονομάζω μέσον όρον αυτόν τον όρο τον κατηγορούμενον ἀμφοῖν ήτοι αυτόν που κατηγορείται εις αμφότερα τα άκρα, και ονομάζω άκρα τα υποκείμενα αυτά, κατά των οποίων προσαγορεύεται, (κατηγορείται) ο μέσος όρος. Το μείζον άκρο είναι αυτό που βρίσκεται πλησιέστερα στον μέσόν, ενώ έλασσον άκρο είναι αυτό που βρίσκεται πιο μακριά από τον μέσον. (Ο μέσος όρος τοποθετείται μέν έξω από τους άκρους όρους αλλά είναι πρώτος στη θέση).{15bΣτΜ}
Previously, Aristotle noted the coincidence that the middle in size was also the middle in position. He does not repeat this now because the relations of position are now altered. Unless Aristotle actively seeks to confuse his readers, we are meant to understand that the relations of ‘greater’, ‘middle’ and ‘smaller’ are now strictly the relations of size between the lines. The positions, on the other hand, are explicitly spelled out: the middle is first in position, followed by the greater and then finally followed by the smaller. Aristotle’s reference to ‘first’ and ‘farther’ strongly imply that he is referring to a figure organized from left to right. Had the figure been organized from the top to bottom, one would have expected terms such as ‘above’ and ‘below’; it is hard to believe that ‘first’ does not mean, here, ‘leftmost’, with the three terms arranged in the order of writing, from left to right.16
Προηγουμένως, ο Αριστοτέλης σημείωσε την σύμπτωση ότι το μεσαίο σε μέγεθος ήταν επίσης το μεσαίο σε θέση. Δεν το επαναλαμβάνει τώρα γιατί οι σχέσεις θέσεως πλέον έχουν αλλοιωθεί. Αν ο Αριστοτέλης δεν επιδιώξει ενεργά να μπερδέψει τους αναγνώστες του, πρέπει να καταλάβουμε ότι οι σχέσεις του «μεγαλύτερου», του «μεσαίου» και του «μικρότερου» είναι πλέον αυστηρά οι σχέσεις μεγέθους μεταξύ των γραμμών. Οι θέσεις, από την άλλη πλευρά, διατυπώνονται ρητά: η μέση είναι πρώτη στη θέση, ακολουθούμενη από τη μεγαλύτερη και στη συνέχεια ακολουθείται από τη μικρότερη. Η αναφορά του Αριστοτέλους σε «πρώτο» και «μακρύτερο» υποδηλώνει έντονα ότι αναφέρεται σε μια μορφή οργανωμένη από αριστερά προς τα δεξιά. Αν το σχήμα είχε οργανωθεί από πάνω προς τα κάτω, θα περίμενε κανείς όρους όπως «πάνω» και «κάτω». Είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι ο «πρώτος» δεν σημαίνει, εδώ, το «αριστερό», με τους τρεις όρους να είναι διατεταγμένοι με τη σειρά γραφής, από αριστερά προς τα δεξιά.16
Finally, here is the description of the third figure (28a13–15):
Τέλος, ακολουθεί η περιγραφή του τρίτου σχήματος (28a13–15):{16ΣτΜ}
[in the third figure,] by major extreme I mean the one farther from the middle and by minor the one closer. The middle is placed outside the extremes and is last in position.
[στο τρίτο συλλογιστικό σχήμα,] με το μείζον ακραίο εννοώ το πιο μακριά από τη μέση και με το μικρό αυτό που βρίσκεται πιο κοντά. Το μεσαίο τοποθετείται έξω από τα άκρα και είναι τελευταίο στη θέση του.
Here we have the greater line, followed by the smaller line, with the middle line appearing last.
Εδώ έχουμε την μεγαλύτερη γραμμή, ακολουθούμενη από την μικρότερη γραμμή, με τη μεσαία γραμμή να εμφανίζεται τελευταία.
In the preliminary passage of chapters 1.4–6, as he introduces the figures, Aristotle makes several comments and produces several examples for each. When discussing the first figure, the terms are then always (in Latin transliteration) A, B, C; when discussing the second, they are M, N, X; when discussing the third, they are P, R, S. The alphabetical order from M to X, and from P to S, is assigned according to the spatial, rather than the logical arrangement: thus, in the second figure, M is the middle while, in the third figure, S is the middle. The consistent reference to the same labels in those chapters, 1.4–6, powerfully suggests that Aristotle refers, throughout, to a single set of material figures. Further, the explicit reference to ‘second’ and ‘third’ figures suggests that the figures are located together and marked by a word or, perhaps better, a numeral. Indeed, the main reason to think that the figures are organized together on a single diagram is the very choice to mark each with a separate set of labels. Later on in the treatise, when Aristotle discusses the second and third figures, he generally speaking reverts to A, B, C: there is no deep connection, in his mind, between the second figure and the letters M, N, X and between the third figure and the letters P, R, S. The choice to label each with different letters makes sense, however, if the three figures are considered as part of a single drawing, so that A, B and C are simply not available for the second and third figures. Aristotle’s ‘three figures’ are therefore, likely, to begin with, a single diagram with, indeed, three figures in it, which we are now in a position to reconstruct:
Στο προκαταρκτικό απόσπασμα των κεφαλαίων 1.4–6, καθώς εισάγει τα σχήματα, ο Αριστοτέλης κάνει πολλά σχόλια και παράγει πολλά παραδείγματα για το καθένα. Όταν συζητάμε το πρώτο σχήμα, οι όροι είναι πάντα (σε λατινική μεταγραφή) A, B, C. όταν συζητάμε το δεύτερο, είναι Μ, Ν, Χ. όταν συζητάμε για το τρίτο, είναι P, R, S. Η αλφαβητική σειρά από το M στο X, και από το P στο S, εκχωρείται σύμφωνα με τη χωρική και όχι τη λογική διάταξη: έτσι, στο δεύτερο σχήμα, το M είναι το μέση ενώ, στο τρίτο σχήμα, S είναι η μέση. Η συνεπής αναφορά στις ίδιες σημάνσεις (ετικέτες) σε αυτά τα κεφάλαια, 1.4-6, υποδηλώνει ισχυρά ότι ο Αριστοτέλης αναφέρεται, σε όλη τη διάρκεια, σε ένα μόνο σύνολο υλικών μορφών. Επιπλέον, η ρητή αναφορά σε «δεύτερα» και «τρίτα» σχήματα υποδηλώνει ότι τα σχήματα βρίσκονται μαζί και σημειώνονται με μια λέξη ή, ίσως καλύτερα, έναν αριθμό. Πράγματι, ο κύριος λόγος για να πιστεύουμε ότι τα σχήματα είναι οργανωμένα μαζί σε ένα μόνο διάγραμμα είναι η ίδια η επιλογή να επισημάνουμε το καθένα με ένα ξεχωριστό σύνολο σημάνσεων (ετικετών). Αργότερα στην πραγματεία, όταν ο Αριστοτέλης συζητά το δεύτερο και το τρίτο συλλογιστικό σχήμα, μιλώντας γενικά επιστρέφει στο Α, Β, Γ: δεν υπάρχει βαθιά σύνδεση, στο μυαλό του, μεταξύ του δεύτερου σχήματος και των γραμμάτων Μ, Ν, Χ και μεταξύ το τρίτο σχήμα και τα γράμματα P, R, S. Η επιλογή να επισημανθεί το καθένα με διαφορετικά γράμματα έχει νόημα, ωστόσο, εάν τα τρία σχήματα θεωρηθούν ως μέρος ενός ενιαίου σχεδίου, έτσι ώστε τα Α, Β και Γ απλά να μην είναι διαθέσιμα για το δεύτερο και το τρίτο σχήμα. Επομένως, τα «τρία σχήματα» του Αριστοτέλη είναι πιθανό να ξεκινούν με ένα ενιαίο διάγραμμα με, πράγματι, τρία σχήματα, τα οποία είμαστε τώρα σε θέση να ανακατασκευάσουμε:
View Full SizeCitation: Phronesis 68, 1 (2023) ; 10.1163/15685284-bja10062Download Figure
Download figure as PowerPoint slide
If nothing else, then, this is helpful in the basic terms of Aristotelian hermeneutics. The passages quoted above have all been a thorn in scholarship’s side, the references to the relative locations taken in various metaphysical or syntactic senses,17 but they become straightforward as soon as the visual reference is understood. For this reason alone, I am profoundly perplexed by the fact that the argument of this paper—which is, as far as I can see, nothing more than the plain reading of Aristotle’s text—has not yet been made. Perhaps this is yet another example of past humanists’ focusing on text and ignoring image (even where the text plainly speaks about images.) More to the point, a number of past scholars, as noted, did suggest possible reconstructions of the figures and what is noticeable is that all of them looked for efficacious diagrams: that is, diagrams whose very structure would provide material help in judging the validity of logical claims. This trend in the scholarship in part reflects the influence of the transmission: it is hard to look for Aristotle’s figures without thinking about the significant accumulation of late ancient and medieval visual tools which are, indeed, generally speaking, more eloquent than those reconstructed above. But this is unfair: modern scholars know full well that this scholiastic tradition begins not earlier than Late Antiquity. The main reason past scholars looked for efficacious diagrams must have been that, otherwise, it was less clear to them why Aristotle would go through the trouble of drawing them in the first place.
Αν μη τι άλλο, τότε, αυτό είναι χρήσιμο με τους βασικούς όρους της αριστοτελικής ερμηνευτικής. Τα αποσπάσματα που αναφέρθηκαν παραπάνω ήταν όλα ένα αγκάθι στο μάτι, οι αναφορές στις σχετικές τοποθεσίες λαμβάνονται με διάφορες μεταφυσικές ή συντακτικές έννοιες,17 αλλά γίνονται ξεκάθαρα μόλις γίνει κατανοητή η οπτική αναφορά. Για αυτόν και μόνο τον λόγο, είμαι βαθιά μπερδεμένος από το γεγονός ότι το επιχείρημα αυτής της εργασίας —που, απ’ όσο μπορώ να δω, δεν είναι τίποτα περισσότερο από την απλή ανάγνωση του κειμένου του Αριστοτέλους — δεν έχει ακόμη διατυπωθεί. Ίσως αυτό είναι ένα ακόμη παράδειγμα της εστιάσεως των ανθρωπιστών του παρελθόντος στο κείμενο και της αγνοήσεως της εικόνας (ακόμα και όταν το κείμενο μιλάει ξεκάθαρα για εικόνες.) Πιο συγκεκριμένα, αρκετοί παλαιότεροι μελετητές, όπως σημειώθηκε, πρότειναν πιθανές ανακατασκευές των σχημάτων και αυτό που είναι αξιοσημείωτο είναι ότι όλοι τους αναζήτησαν αποτελεσματικά διαγράμματα: δηλαδή, διαγράμματα των οποίων η ίδια η δομή θα παρείχε υλική βοήθεια στην κρίση της εγκυρότητας των λογικών ισχυρισμών. Αυτή η τάση στην ακαδημαική έρευνα αντανακλά εν μέρει την επιρροή της μεταδόσεως: είναι δύσκολο να αναζητήσει κανείς τις εικόνες (σχεδιαγράμματα) του Αριστοτέλους χωρίς να σκεφτεί την σημαντική συσσώρευση ύστερων αρχαίων και μεσαιωνικών οπτικών εργαλείων που είναι, όντως, γενικά, πιο εύγλωττα από αυτά που ανακατασκευάστηκαν παραπάνω. Αλλά αυτό είναι άδικο: οι σύγχρονοι μελετητές γνωρίζουν πολύ καλά ότι αυτή η σχολαστική παράδοση ξεκινά όχι νωρίτερα από την Ύστερη Αρχαιότητα. Ο κύριος λόγος που οι παλαιότεροι μελετητές αναζήτησαν αποτελεσματικά διαγράμματα πρέπει να ήταν ότι, διαφορετικά, τους ήταν λιγότερο σαφές γιατί ο Αριστοτέλης θα μπήκε στον κόπο να τα σχεδιάσει εξαρχής.
Why indeed have the figures? To begin with, the figures reconstructed above are not entirely unhelpful. One thing which I think they are good for is for showing that it is indeed reasonable to have precisely three figures. A moment’s combinatoric reflection shows that there are six ways of arranging three lines of unequal length and that these six fall into three symmetrical pairs. (One gets all six arrangements by taking the three figures reconstructed above, and then flipping each along a vertical axis, so that the decreasing first figure A-B-C becomes an increasing mirror figure C-B-A, etc.) Clearly, the symmetrical arrangement is not considered to be a separate case, since one studies a particular relative order between the middle and the extremes; hence three figures are sufficient.
Γιατί όντως υπάρχουν τα διαγράμματα; Αρχικά, τα διαγράμματαα που ανακατασκευάστηκαν παραπάνω δεν είναι εντελώς άχρηστα. Ένα πράγμα για το οποίο πιστεύω ότι είναι καλά είναι να δείξουν ότι είναι πράγματι λογικό να έχουμε ακριβώς τρία σχεδιαγράμματα. Η συνδυαστική αντανάκλαση μιας στιγμής δείχνει ότι υπάρχουν έξι τρόποι για τη διάταξη τριών γραμμών άνισου μήκους και ότι αυτές οι έξι εμπίπτουν σε τρία συμμετρικά ζεύγη. (Κάποιος παίρνει και τις έξι διατάξεις παίρνοντας τα τρια σχεδιαγράμματα που ανακατασκευάστηκαν παραπάνω, και στη συνέχεια αναποδογυρίζοντας την καθεμία κατά μήκος ενός κατακόρυφου άξονα, έτσι ώστε η φθίνουσα πρώτη εικόνα A-B-C να γίνει μια αυξανόμενη κατοπτρική εικόνα C-B-A, κ.λπ.) Σαφώς, η συμμετρική διάταξη δεν θεωρείται ότι είναι μια ξεχωριστή περίπτωση, δεδομένου ότι κάποιος μελετά μια συγκεκριμένη σχετική τάξη μεταξύ της μέσης και των άκρων, άρα τρία σχεδιαγράμματα είναι αρκετά.
Further, the figures are clearly useful as, so to speak, mnemonic tools: once we become familiar with the meaning of length and sequence, we can use them to read off the overall structure of the figure. A syllogism has two premises and a conclusion. Each of these states a predication, which is spatially organized from left to right. The premises are the two predications involving the middle; the conclusion is the one involving the greater and the smaller alone. Thus, in the first figure, the two premises are that the greater is predicated of the middle and the middle is predicated of the smaller. In the second figure, the two premises are that the middle is predicated of both greater and smaller; in the third, that both the greater and the smaller are predicated of the middle. In all cases, the conclusion is that the greater is predicated of the smaller. (That the predication runs from the greater to the smaller and not vice versa is simply Aristotle’s way of choosing his three figures out of the six available).
Επιπλέον, τα σχήματα είναι ξεκάθαρα χρήσιμα ως, ας πούμε, μνημονικά εργαλεία: μόλις εξοικειωθούμε με την έννοια του μήκους και της ακολουθίας, μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε για να διαβάσουμε την συνολική δομή του σχήματος. Ένας συλλογισμός έχει δύο υποθέσεις και ένα συμπέρασμα. Κάθε ένα από αυτά δηλώνει μια πρόβλεψη, η οποία είναι χωρικά οργανωμένη από αριστερά προς τα δεξιά. Οι προτάσεις είναι οι δύο κατηγορούμενα που αφορούν στον μέσο. Το συμπέρασμα είναι αυτό που αφορά μόνον το μεγαλύτερο και το μικρότερο. Έτσι, στο πρώτο σχήμα, οι δύο προϋποθέσεις είναι ότι το μεγαλύτερο κατηγορείται του μέσου και το μέσο κατηγορείται του μικρότερου. Στο δεύτερο σχήμα, οι δύο προτάσεις (προκείμενες) είναι ότι ο μέσος βασίζεται τόσο στο μεγαλύτερο όσον και στο μικρότερο. Στο τρίτο συλλογιστικό σχήμα, ότι και το μεγαλύτερο και το μικρότερο καταγγέλλονται του μέσου. Σε όλες τις περιπτώσεις, το συμπέρασμα είναι ότι το μεγαλύτερο καταγγέλλεται του μικρότερου. (Το ότι η πρόβλεψη εκτείνεται από το μεγαλύτερο στο μικρότερο και όχι το αντίστροφο είναι απλώς ο τρόπος του Αριστοτέλους να επιλέξει τα τρία σχεδιαγράμματά του από το σύνολο των έξι διαθεσίμων).
In other words, the figures of the Prior Analytics, as I reconstruct them, are good for specifying the references of the discourse. Of course, diagrams can do much more in geometry, where the more topological relations seen in the diagram, such as inclusion or intersection, can be read off as holding between the geometrical objects themselves.18 A minimal version of this is preserved by some non-spatial diagrams, for instance as seen in Elements 5.1 above: the relation of the labels A, G, B as depicted along a single line in the diagram can be used to show that AG + GB = AB (this is topological inclusion—as algebraic summation). But this is no longer the case in the diagrams of Greek music, arithmetic or proportion theory, where each line has only a single letter standing next to it. Thus, in a diagram such as the first one of the Sectio Canonis, as seen above, the relations of the labels—that these are three lines, in decreasing length from left to right—are not deductively active at all. Once the setting-out verbalizes those relations, the ordering of the three lines in a particular order of size serves, perhaps, as a mnemonic, allowing the reader to pick off from the figure—without the need to go back to the textual statement of the setting out—which is a multiple of which (the greater, of the smaller). But no conclusion flows from the visual ordering of the figure itself, over and above the statements already contained in the setting out. Such, then, were, I argue, Aristotle’s logical figures. Which is evidently the case: after all, the loss of the figures did not prevent us from following any of Aristotle’s arguments. The figures are, indeed, in this sense, deductively inert.
Με άλλα λόγια, τα σχήματα ων Αναλυτικών Προτέρων, όπως τα ανακατασκευάζω, είναι καλά για τον προσδιορισμό των παραπομπών του λόγου. Φυσικά, τα διαγράμματα μπορούν να προσφέρουν πολύ περισσότερα στην γεωμετρία, όπου οι πιο τοπολογικές σχέσεις που φαίνονται στο διάγραμμα, όπως η συμπερίληψη ή η τομή, μπορούν να διαβαστούν ως συγκράτηση μεταξύ των ίδιων των γεωμετρικών αντικειμένων.18 Μια ελάχιστη εκδοχή αυτού διατηρείται από ορισμένα μη -χωρικά διαγράμματα, για παράδειγμα, όπως φαίνεται στα Στοιχεία 5.1 παραπάνω: η σχέση των σημάνσεων (ετικετών) A, G, B, όπως απεικονίζονται κατά μήκος μίας γραμμής στο διάγραμμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι AG + GB = AB (αυτή είναι τοπολογική συμπερίληψη — όπως η αλγεβρική άθροιση). Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πλέον στα διαγράμματα της ελληνικής μουσικής, της αριθμητικής ή της θεωρίας αναλογιών, όπου κάθε γραμμή έχει μόνον ένα γράμμα δίπλα της. Έτσι, σε ένα διάγραμμα όπως το πρώτο του Sectio Canonis, όπως φαίνεται παραπάνω, οι σχέσεις των σημάνσεων (ετικετών) - ότι αυτές είναι τρεις γραμμές, σε φθίνον μήκος από αριστερά προς τα δεξιά - δεν είναι καθόλου ενεργές απαγωγικά. Μόλις το σκηνικό εκφράζει λεκτικά αυτές τις σχέσεις, η ταξινόμηση των τριών γραμμών σε μια συγκεκριμένη σειρά μεγέθους χρησιμεύει, ίσως, ως μνημονική, που επιτρέπει στον αναγνώστη να ξεχωρίσει από το σχήμα - χωρίς να χρειάζεται να επιστρέψει στη κειμενική δήλωση του το σκηνικό — το οποίο είναι πολλαπλάσιο του οποίου (το μεγαλύτερο, του μικρότερου). Αλλά κανένα συμπέρασμα δεν προκύπτει από την οπτική διάταξη του ίδιου του σχήματος, πέρα από τις δηλώσεις που περιέχονται ήδη στο σκηνικό. Τέτοια, λοιπόν, ήταν, υποστηρίζω, τα λογικά στοιχεία του Αριστοτέλους. Κάτι που προφανώς ισχύει: τελικά, η απώλεια των μορφών δεν μας εμπόδισε να ακολουθήσουμε κανένα από τα επιχειρήματα του Αριστοτέλη. Οι αριθμοί είναι, πράγματι, με αυτή την έννοια, απαγωγικά αδρανείς.
But perhaps all of this misses a more fundamental point. This way of talking about ‘mnemonics’ seems to suggest that Greek mathematicians used line diagrams in their music theory, arithmetic and proportion theory, so that they would have a good mnemonic with which to know what ‘A’, ‘B’ and ‘C’ refer to. This, I think, is misleading and seems to ignore the crucial fact that the use of such diagrams was an absolute requirement. Absent a figure with lines, Greek mathematicians felt that they did not properly set up their references. In other words, the function of the lines is not mnemonic but semiotic. We are so habituated to the use of letters as semiotic tools that we see them as transparently representative of abstract objects such as magnitudes, numbers or notes, but it should be emphasized a shape such as ‘A’—two slanted lines and a smaller horizontal line running in between them—has nothing to do, as such, with, say, the sounds of music. ‘A’ is no more and no less natural as a symbol for a musical note than a vertical straight line. In Greek mathematics, one became habituated to lines as the natural semiotic tools. It is not as if the symbolism of a Greek mathematical text was constituted by letters of the alphabet—which were then displayed, for mnemonic purposes, as lines. Rather, the symbolism of a Greek mathematical text was constituted by points and lines, which were then labelled, for the sake of ease of reference, by letters of the alphabet. In a geometrical context, a line—however badly drawn—stands for a line. In an arithmetical context, it stands for a number, in a musical context for a note. And in the case of Aristotle’s logic, it could stand for a horse.19 It is inconvenient, in geometry as in logic, to keep pointing with one’s index finger—‘this line’, ‘that line’—and for this reason letters of the alphabet were attached as indices allowing easier reference (that could also be directly textualized).20
Ίσως όμως όλα αυτά να αγνοούν ένα πιο θεμελιώδες σημείο. Αυτός ο τρόπος ομιλίας για τη «μνημονική» φαίνεται να υποδηλώνει ότι οι Έλληνες μαθηματικοί χρησιμοποίησαν διαγράμματα γραμμών στη θεωρία της μουσικής, την αριθμητική και την θεωρία αναλογιών, έτσι ώστε να έχουν μια καλή μνημονική με την οποία να γνωρίζουν που αναφέρονται οι σημάνσεις «Α», «Β» και «Γ». Αυτό, νομίζω, είναι παραπλανητικό και φαίνεται να αγνοεί το κρίσιμο γεγονός ότι η χρήση τέτοιων διαγραμμάτων ήταν απόλυτη απαίτηση. Απουσία ενός σχήματος με γραμμές, οι Έλληνες μαθηματικοί ένιωθαν ότι δεν έφτιαξαν σωστά τις αναφορές τους. Με άλλα λόγια, η λειτουργία των γραμμών δεν είναι μνημονική αλλά σημειωτική. Είμαστε τόσο συνηθισμένοι στην χρήση των γραμμάτων ως σημειωτικών εργαλείων που τα βλέπουμε ως διαφανώς αντιπροσωπευτικά αφηρημένων αντικειμένων όπως τα μεγέθη, οι αριθμοί ή οι νότες, αλλά θα πρέπει να τονιστεί ένα σχήμα όπως «Α» — δύο λοξές γραμμές και μια μικρότερη οριζόντια γραμμή που τρέχει ανάμεσά τους — δεν έχει καμία σχέση, ως εκ τούτου, με, ας πούμε, τους ήχους της μουσικής. Το «Α» δεν είναι ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο φυσικό ως σύμβολο για μια μουσική νότα από μια κάθετη ευθεία γραμμή. Στα ελληνικά μαθηματικά, συνηθίστηκε κανείς στις γραμμές ως τα φυσικά σημειολογικά εργαλεία. Δεν είναι σαν ο συμβολισμός ενός ελληνικού μαθηματικού κειμένου να αποτελούταν από γράμματα του αλφαβήτου — τα οποία στη συνέχεια εμφανίζονταν, για μνημονικούς σκοπούς, ως γραμμές. Μάλλον, ο συμβολισμός ενός ελληνικού μαθηματικού κειμένου αποτελούνταν από σημεία και γραμμές, τα οποία στη συνέχεια ονομάζονταν, για λόγους ευκολίας αναφοράς, με γράμματα του αλφαβήτου. Σε ένα γεωμετρικό πλαίσιο, μια γραμμή - όσο άσχημα και αν είναι σχεδιασμένη - σημαίνει μια γραμμή. Σε ένα αριθμητικό πλαίσιο, σημαίνει έναν αριθμό, σε ένα μουσικό πλαίσιο μια νότα. Και στην περίπτωση της λογικής του Αριστοτέλους, θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει ένα άλογο.19 Είναι άβολο, τόσο στην γεωμετρία όσο και στην λογική, να συνεχίζει κανείς να δείχνει με τον δείκτη του - «αυτή η γραμμή», «αυτή η γραμμή» - και για αυτόν τον λόγο τα γράμματα του το αλφάβητο επισυνάπτονταν ως δείκτες που επέτρεπαν ευκολότερη αναφορά (που θα μπορούσε επίσης να μετατραπεί απευθείας στο κείμενο).20
Two comparisons come to mind. First, in Chrysippus’ logic one no longer uses letters and instead, when the elements of logical demonstrations (which, in Chrysippus’ logic, are propositions) are picked up, they are referred to by ordinal numbers, ‘the first,’ ‘the second,’ etc.21 This is not a matter of innocuously transitioning between equivalent ordinal systems—letters of the alphabet, ordinal numbers—but rather serves to remind us that Chrysippus no longer uses diagrams. Chrysippus’ ordinal numbers do not pick up elements in a spatial array of lines but, instead, pick up elements in the temporal series of natural language. The ‘first’ proposition is the one first asserted, the ‘second’ follows it, etc. So, yet another example of Chrysippus’ turning away from the science of his time.22
Δύο συγκρίσεις έρχονται στο μυαλό. Πρώτον, στη λογική του Χρύσιππου δεν χρησιμοποιεί κανείς πλέον γράμματα και αντ' αυτού, όταν συλλέγονται τα στοιχεία των λογικών επιδείξεων (που στη λογική του Χρύσιππου είναι προτάσεις), αναφέρονται με τακτικούς αριθμούς, «ο πρώτος», «το δεύτερον, κ.λπ.21 Δεν πρόκειται για αβλαβή μετάβαση ανάμεσα σε ισοδύναμα τακτικά συστήματα - γράμματα του αλφαβήτου, τακτικούς αριθμούς - αλλά μάλλον μας υπενθυμίζει ότι ο Χρύσιππος δεν χρησιμοποιεί πλέον διαγράμματα. Οι τακτικοί αριθμοί του Χρύσιππου δεν συλλέγουν στοιχεία σε μια χωρική διάταξη γραμμών, αλλά, αντίθετα, μαζεύουν στοιχεία στη χρονική σειρά της φυσικής γλώσσας. Η «πρώτη» πρόταση είναι αυτή που διατυπώθηκε για πρώτη φορά, η «δεύτερη» την ακολουθεί κ.λπ. Ένα ακόμη παράδειγμα του Χρύσιππου που απομακρύνεται από την επιστήμη της εποχής του.22
Second, we may note claims such as those made by Kneale and Kneale (1962, 61), that one of Aristotle’s great innovations was that he ‘[used] letters as term-variables’. Considered sufficiently abstractly, it is perhaps valid to consider the line, next to which the letter A lies, as a term-variable. (The line may stand for ‘horse’ but it may also stand for ‘animal’). But the letter A is not a variable, because it is not even a symbol but is, instead, simply an index, picking up a reference to a particular line. Perhaps a failure to see that is among the difficulties preventing past scholars from visualizing Aristotle’s figures. It is noteworthy that the reconstructions offered by past scholars are all variations on the idea of enmeshing alphabetic letters within system of curves and arrows, the letters standing for terms and the curves and arrows for their relations. In fact, Greek diagrammatic practice does not use letters as symbolic representations for the terms under discussion: for this, one mostly has to wait for modern algebra. Aristotle himself would have been familiar with a different kind of diagrams, where the letters were tools for pointing at things; a textualized alternative to one’s index finger.
Δεύτερον, μπορούμε να σημειώσουμε ισχυρισμούς όπως εκείνους που έγιναν από τους Kneale και Kneale (1962, 61), ότι μια από τις μεγάλες καινοτομίες του Αριστοτέλους ήταν ότι «[χρησιμοποιούσε] τα γράμματα ως μεταβλητές όρου». Λαμβάνοντας υπόψη αρκετά αφηρημένα, είναι ίσως έγκυρο να θεωρήσουμε τη γραμμή, δίπλα στην οποία βρίσκεται το γράμμα Α, ως όρο-μεταβλητή. (Η γραμμή μπορεί να σημαίνει «άλογο» αλλά μπορεί επίσης να σημαίνει «ζώο»). Αλλά το γράμμα Α δεν είναι μια μεταβλητή, γιατί δεν είναι καν σύμβολο, αλλά είναι, αντίθετα, απλώς ένα ευρετήριο, που παίρνει μια αναφορά σε μια συγκεκριμένη γραμμή. Ίσως η αποτυχία να το δούμε αυτό είναι μια από τις δυσκολίες που εμποδίζουν τους παλαιότερους μελετητές να οπτικοποιήσουν τις μορφές του Αριστοτέλους. Είναι αξιοσημείωτο ότι οι ανακατασκευές που προσφέρονται από παλαιότερους μελετητές είναι όλες παραλλαγές στην ιδέα της συνένωσης των αλφαβητικών γραμμάτων μέσα σε ένα σύστημα καμπυλών και βελών, των γραμμάτων που σημαίνουν όρους και των καμπυλών και βελών για τις σχέσεις τους. Στην πραγματικότητα, η ελληνική διαγραμματική πρακτική δεν χρησιμοποιεί γράμματα ως συμβολικές αναπαραστάσεις για τους υπό συζήτηση όρους: για αυτό, πρέπει κυρίως να περιμένει κανείς τη σύγχρονη άλγεβρα. Ο ίδιος ο Αριστοτέλης θα ήταν εξοικειωμένος με ένα διαφορετικό είδος διαγραμμάτων, όπου τα γράμματα ήταν εργαλεία για να δείχνουν τα πράγματα. μια κειμενοποιημένη εναλλακτική του δείκτη.
We find ourselves pondering Aristotle’s index finger and so we are drawn to consider the context and materiality of the figures. As noted, the stability of the lettering for each figure for the duration of chapters 1.4–6 suggests the existence of a single set of figures and the most obvious hypothesis is that Aristotle worked in a classroom where he could refer to a fixed drawing (a whiteboard, perhaps?23). I think that this is very likely but that we should also admit our ignorance and consider a wider range of possibilities. As noted above, the lettering of the second figure with M, N, X and of the third with P, R, S is kept only through 1.4–6 and, later on in the treatise, Aristotle usually refers to diagrams with A, B, C even when discussing the second and third figures. This reveals to us two things. First, it emphasizes, once again, that the main semiotic tool are the lines, not the labels. Aristotle evidently feels that the figure consists not in the choice of three labels but in the spatial arrangement of three lines of differing lengths. Second, the text of the Prior Analytics does not emerge just from the context of speaking about a single diagram, on a single whiteboard, on the walls of the Lyceum. Had Aristotle referred throughout the treatise to that single figure, drawn on the wall, he would always use the labels introduced in chapters 1.4–6. But if he does not refer to a single set of figures throughout, and instead relies on different visual aids in different contexts, we are left very much in the dark concerning the details of his practice in any particular context. The best statement in my view is that the environment of Aristotle’s school was awash in a variety of textual artifacts: papyri, whiteboards, wax tablets (among other media).24 Learning and research were done mostly in oral conversation, making reference to such textual artifacts as the need arose. Sometimes, one looked at the documents of the master and of his close associates. Probably multiple copies were made of these, and it is likely that many of those copies accompanied the text itself by the drawings it implied. Sometimes, one would refer to drawings attached to the wall. In particular, it seems likely that at some point Aristotle discussed in oral teaching the basic principles of the syllogistic, and that this discussion was pursued in sight of a whiteboard, containing the three figures. This discussion informed chapters 1.4–6 of the Prior Analytics. Its diagram was then lost; I believe it is now reconstructed.
Βρισκόμαστε να συλλογιζόμαστε τον δείκτη του Αριστοτέλη και έτσι μας ελκύει να εξετάσουμε το πλαίσιο και την υλικότητα των μορφών. Όπως σημειώθηκε, η σταθερότητα των γραμμάτων για κάθε σχήμα κατά τη διάρκεια των κεφαλαίων 1.4-6 υποδηλώνει την ύπαρξη ενός ενιαίου συνόλου σχημάτων και η πιο προφανής υπόθεση είναι ότι ο Αριστοτέλης εργαζόταν σε μια τάξη όπου μπορούσε να αναφερθεί σε ένα σταθερό σχέδιο (α πίνακας, ίσως;23). Πιστεύω ότι αυτό είναι πολύ πιθανό, αλλά θα πρέπει επίσης να παραδεχτούμε την άγνοιά μας και να εξετάσουμε ένα ευρύτερο φάσμα πιθανοτήτων. ως σημειώθηκε παραπάνω, το γράμμα του δεύτερου σχήματος με Μ, Ν, Χ και του τρίτου με Ρ, R, S διατηρείται μόνο στο 1,4–6 και, αργότερα στην πραγματεία, ο Αριστοτέλης συνήθως αναφέρεται σε διαγράμματα με Α, Β, C ακόμη και όταν συζητάμε το δεύτερο και το τρίτο σχήμα. Αυτό μας αποκαλύπτει δύο πράγματα. Πρώτον, τονίζει, για άλλη μια φορά, ότι το κύριο σημειωτικό εργαλείο είναι οι γραμμές και όχι οι ετικέτες. Ο Αριστοτέλης αισθάνεται προφανώς ότι το σχήμα δεν συνίσταται στην επιλογή τριών ετικετών αλλά στη χωρική διάταξη τριών γραμμών διαφορετικού μήκους. Δεύτερον, το κείμενο του Prior Analytics δεν προκύπτει απλώς από το πλαίσιο της ομιλίας για ένα μόνο διάγραμμα, σε έναν ενιαίο πίνακα, στους τοίχους του Λυκείου. Αν ο Αριστοτέλης αναφερόταν σε όλη την πραγματεία σε αυτή τη μοναδική φιγούρα, ζωγραφισμένη στον τοίχο, θα χρησιμοποιούσε πάντα τις ετικέτες που εισάγονται στα κεφάλαια 1.4-6. Αλλά αν δεν αναφέρεται σε ένα ενιαίο σύνολο φιγούρων παντού, και αντίθετα βασίζεται σε διαφορετικά οπτικά βοηθήματα σε διαφορετικά περιβάλλοντα, μένουμε πολύ στο σκοτάδι σχετικά με τις λεπτομέρειες της πρακτικής του σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο πλαίσιο. Η καλύτερη δήλωση κατά την άποψή μου είναι ότι το περιβάλλον της σχολής του Αριστοτέλη ήταν πλημμυρισμένο από μια ποικιλία κειμενικών αντικειμένων: πάπυροι, πίνακες, κέρινα δισκία (μεταξύ άλλων μέσων). τεχνουργήματα όπως προέκυψε η ανάγκη. Μερικές φορές, κοιτούσε κανείς τα έγγραφα του πλοιάρχου και των στενών του συνεργατών. Πιθανώς έγιναν πολλαπλά αντίγραφα από αυτά, και είναι πιθανό ότι πολλά από αυτά τα αντίγραφα συνόδευαν το ίδιο το κείμενο από τα σχέδια που υπονοούσε. Μερικές φορές, θα αναφερόταν κανείς σε σχέδια που είναι προσαρτημένα στον τοίχο. Συγκεκριμένα, φαίνεται πιθανό ότι κάποια στιγμή ο Αριστοτέλης συζήτησε στην προφορική διδασκαλία τις βασικές αρχές της συλλογιστικής και ότι αυτή η συζήτηση συνεχίστηκε μπροστά σε έναν πίνακα που περιείχε τις τρεις μορφές. Αυτή η συζήτηση ενημέρωσε τα κεφάλαια 1.4–6 του Prior Analytics. Τότε χάθηκε το διάγραμμά του. Πιστεύω ότι τώρα έχει ανακατασκευαστεί.
Bibliography
Asper, M. (2015). Peripatetic Forms of Writing: A Systems-Theory Approach. In: Hellmann, O. and Mirhady, D., eds., Phaenias of Eresus, New Brunswick: NJ, pp. 407–432.Barker, A. (1989). Greek Musical Writings. Cambridge.
Bobzien, S. (2005). Logic. In: Algra, K., Barnes, J., Mansfeld, J. and Schofield, M., eds., The Cambridge History of Hellenistic Philosophy, Cambridge, pp. 77–176.
Carman, C.C. (2018). Accounting for Overspecification and Indifference to Visual Accuracy in Manuscript Diagrams: A Tentative Explanation Based on Transmission. Historia Mathematica 45.3, pp. 217–236.
Corbett, G.G. and Fraser, N.M. (2000). Default Genders. In: Unterbeck, B. and Rissanen, M., eds., Gender in Grammar and Cognition, New York, pp. 55–97.
Einarson, B. (1936). On Certain Mathematical Terms in Aristotle’s Logic. American Journal of Philology 57, pp. 33–54, 151–72.
Englebretsen, G. (2020). Figuring it Out: Logic Diagrams. Berlin.
Heath, T.L. (1926). The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge.
Ierodiakonou, K. (2002). Aristotle’s Use of Examples in the Prior Analytics. Phronesis 47.2, pp. 127–152.
von Jan, K. (1895). Musici Scriptores Graeci. Leipzig.
Kneale, M. and Kneale, W. (1962). The Development of Logic. Oxford.
Lee, E. (2020). Visual Agency in Euclid’s Elements: A Study of the Transmission of Visual Knowledge. Stanford PhD.
van Leeuwen, J. (2016). The Aristotelian Mechanics: Text and Diagrams. Berlin.
Manders, K. (2008). The Euclidean Diagram. In: Mancosu, P., ed., The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford, pp. 80–133.
Netz, R. (1999). The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History. Cambridge.
Netz, R. (2004). The Works of Archimedes, Translation and Commentary. Volume I: The Two Books on the Sphere and the Cylinder. Cambridge.
Netz, R. (2013). Authorial Presence in the Ancient Exact Sciences. In: Asper, M., ed., Writing Science, Berlin, pp. 217–253.
Netz, R. (2020). Scale, Space and Canon in Ancient Literary Culture. Cambridge.
Netz, R. (2020b). Why were Greek Mathematical Diagrams Schematic? Nuncius 35.3, pp. 506–535.
Netz, R. (2022). A New History of Greek Mathematics. Cambridge.
Rose, L.E. (1968). Aristotle’s Syllogistic. Springfield.
Savage-Smith, E. (2002). Galen’s Lost Ophthalmology and the Summaria Alexandrinorum. Bulletin of the Institute of Classical Studies 77, pp. 121–138.
Smith, R. (1978). The Mathematical Origins of Aristotle’s Syllogistic. Archive for History of Exact Sciences 19, pp. 201–209.
https://usercontent.one/wp/denlillemann.no/wp-content/uploads/2021/06/ON_SYLLOGISMS_Prior_Analytics_A_TRANSLAT.pdf?media=1629525306
Smith, R. (1989). Aristotle: Prior Analytics. Indianapolis.
von Staden, H. (2013). Writing the Animal: Aristotle, Pliny the Elder, Galen. In: Asper, M. (ed.) Writing Science, Berlin, pp. 111–144.
Striker, G. (2009). Aristotle: Prior Analytics Book I. Oxford.
Thomas, J.J. (2019). The Illustrated Dioskourides Codices and the Transmission of Images during Antiquity, Journal of Roman Studies 109, pp. 241–273.
Thomas, R. (1992). Literacy and Orality in Ancient Greece. Cambridge.
Vitrac, B. (2002). Note Textuelle sur un (Problème de) Lieu Géométrique dans les Météorologiques d’Aristote (III. 5, 375 b 16–376 b 22). Archive for history of exact sciences 56, pp. 239–283.
Wallies, M. (1899). Ammonii in Aristotelis Analyticorum priorum librum I commentarium. Commentaria in Aristotelem Graeca IV.6. Berlin.
Wesoły, M. (1996). Aristotle’s Lost Diagrams of Analytical Figures. Eos 74, pp. 53–64.
Wesoły, M. (2012). ΑΝΑΛΥΣΙΣ ΠΕΡΙ ΤΑ ΣΧΗΜΑΤΑ . Restoring Aristotle’s Lost Diagrams of the Syllogistic Figures. Peitho, pp. 83–114.
Παπανδρέου, Α. 1995. Αριστοτέλους το 'Όργανον'. Αναλυτικά Πρότερα μετά σχολίων, Αθήναι - Γεωργιάδης.
https://www.jstor.org/stable/27564182
Malink, M. 2008. "'Τωι' vs 'Των' in 'Prior Analytics' 1.1-22," The Classical Quarterly, New Series 58 (2), pp. 519-536.
https://eclass.uoa.gr/modules/document/file.php/PHS258/istoriaE.pdf
Δημητρακόπουλος, Κ. Ι. 2007. Ιστορία Αρχαίας Ελληνικής Λογικής, Αθήνα.
http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/greats/aristoteles/analytika_protera.html
Άπαντα Αριστοτέλους
https://drive.google.com/file/d/1nECCk-DiNNQ0gjAtPxZo1ZWI5A84IITJ/view
Δημητρακόπουλος, Κ. Ι. 1991. Λογική Θεωρία & Πρακτική – Βιβλίο Μαθητή, ΟΕΔΒ
https://philarchive.org/archive/VLADSA
https://journals.publishing.umich.edu/ergo/article/1147/galley/139/view/
Vlasits, J. 2021. "Division, Syllogistic, and Science in Prior Analytics I.31," ERGO 8 (10), pp. 269-305.
NOTES
* Παρέχεται το πρωτότυπο άρθρο στην Αγγλική και η μετάφρασή του στην Ελληνική, με εμβόλιμα σχόλια καί πρόσθετες σημειώσεις του μεταφραστού εντός αγκύλης και με την σήμανση ΣτΜ.
1
The best treatment of Aristotle’s quasi-mathematical passages is a concise section in an article by Vitrac (2002, 248–55).
2
Not that this requires any special evidence, but the ubiquity of mathematical examples in the Analytics itself is relevant: see Ierodiakonou 2002.
3
This claim is elaborated in the second chapter of Netz 2022.
4
Netz 2013, 232–41.
5
The clearest case is the ps. Aristotelian Mechanics, whose extant diagrams were introduced by Byzantine hands—so, evidently, were lost at some point prior to the Middle Ages (van Leeuwen 2016, 97–101).
6
In his biological works Aristotle occasionally asks the reader to consult a separate text, titled the anatomai, ‘dissections’, in order to visualize the contents of the biological text. It is widely believed that the anatomai contained visual images of anatomical structures. See von Staden 2013, 115–17.
7
Image (with my translation) from Wallies 1899, 39. I am not sure that the figures in Ammonius’ text are from his own hand, rather than coming from the hand of a later Medieval accretion, but at any rate no earlier figures of this kind are attested. (Of course, the fact that the earliest author in whose textual tradition those diagrams are found is Ammonius is not dispositive though it does suggest, as the text asserts, a fairly late origin). This particular form of curved lines connecting terms is ubiquitous in Medieval scholia of music and proportion theory and belongs to an entire domain worthy of study on its own right (Lee 2020 is a beginning in this direction of the study of what he calls visual scholia).
8
Savage-Smith 2002, 122–5.
9
von Jan 1895, 150 clearly explains the manuscript evidence concerning the diagrams, which seem to be reconstructed by the editor while keeping closely to the manuscript evidence. Translation from Barker 1989 II, 194.
11
Netz 2004, 44. As noted there, the lay-out of the figure is the same across the manuscripts.
1
The best treatment of Aristotle’s quasi-mathematical passages is a concise section in an article by Vitrac (2002, 248–55).
2
Not that this requires any special evidence, but the ubiquity of mathematical examples in the Analytics itself is relevant: see Ierodiakonou 2002.
3
This claim is elaborated in the second chapter of Netz 2022.
4
Netz 2013, 232–41.
5
The clearest case is the ps. Aristotelian Mechanics, whose extant diagrams were introduced by Byzantine hands—so, evidently, were lost at some point prior to the Middle Ages (van Leeuwen 2016, 97–101).
6
In his biological works Aristotle occasionally asks the reader to consult a separate text, titled the anatomai, ‘dissections’, in order to visualize the contents of the biological text. It is widely believed that the anatomai contained visual images of anatomical structures. See von Staden 2013, 115–17.
7
Image (with my translation) from Wallies 1899, 39. I am not sure that the figures in Ammonius’ text are from his own hand, rather than coming from the hand of a later Medieval accretion, but at any rate no earlier figures of this kind are attested. (Of course, the fact that the earliest author in whose textual tradition those diagrams are found is Ammonius is not dispositive though it does suggest, as the text asserts, a fairly late origin). This particular form of curved lines connecting terms is ubiquitous in Medieval scholia of music and proportion theory and belongs to an entire domain worthy of study on its own right (Lee 2020 is a beginning in this direction of the study of what he calls visual scholia).
8
Savage-Smith 2002, 122–5.
9
There is reasonable room for debate concerning the fidelity of the medieval transmission of diagrams. See Carman 2018, Netz 2020b. However, the question considered here is that of the basic tools of representation and it is a prudent assumption that our manuscript evidence is, at this broad level, correct. (Notice, however, that I do not think we should put much stock in, for instance, the orientation of the lines in the manuscripts—this was certainly transformed, at least occasionally, according to the spatial needs of the scribes; see n. 11 below).
10von Jan 1895, 150 clearly explains the manuscript evidence concerning the diagrams, which seem to be reconstructed by the editor while keeping closely to the manuscript evidence. Translation from Barker 1989 II, 194.
11
Translation (and first figure) from Heath 1926 II, 138. In fact, in the main Greek manuscripts the lines are vertical, and I provide an example in the second figure, from Vat. Gr. 190 75v. This manuscript stands out, however, in that the diagrams of Book 5 are inset within the main text; usually, they are arranged on the margins and it is possible that this could have influenced the orientation. ‘The most common and apparent external factor guiding diagram shape is its allocated space’ (Lee 2020, 226).
12Once again, this is discussed in Netz 2022, second chapter. I emphasize the musical context in this paper. It was the main context suggested by the seminal paper in the field of the mathematics of the Prior Analytics, namely Einarson 1936. Netz 2022, chapter 2, serves to explain why this is in fact likely to have been the most salient context. Briefly: no figure loomed as large over the mathematics of the early fourth century as that of Archytas, and it is reasonable to assume that, of his achievements, the foundation of musical theory is the one that mattered most to contemporary philosophers.
13Netz 2004, 44. As noted there, the lay-out of the figure is the same across the manuscripts.
{13ΣτΜ} Παπανδρέου 1995, σελ. 46-47.
14
Translations of Prior Analytics are all from Smith 1989.
{14αΣτΜ} Παπανδρέου 1995, σελ. 52-53.
{14βΣτΜ}. Ο Παπανδρέου (Παπανδρέου 1995, σελ. 52-53) αποδίδει πολύ πιό ικανοποιητικά τον υπό του Αριστοτέλους ορισμό του πρώτου συλλογιστικού σχήματος:
Όταν λοιπόν, τρείς όροι έχουν τήν μεταξύ των πλοκήν κατ' αυτόν τόν τρόπον, (οὕτως ἔχωσι), ώστε ό τρίτος όρος νά περιλαμβάνεται έντελώς εις τον δεύτερον, (τὸν ἔσχατον ἐν ὅλῳ εἶναι τῷ μέσῳ), και ό δεύτερος νά περιλαμβάνεται, έντελώς εις τόν πρώτον, ή νά μή περιλαμβάνεται, (καὶ τὸν μέσον ἐν ὅλῳ τῷ πρώτῳ ἢ εἶναι ἢ μὴ εἶναι,), τότε κατ' άνάγκην έκ τών άκρων όρων, (πρώτου καί τρίτου), γίνεται τέλειος συλλογισμός.
15
It is perhaps worth mentioning that what is sometimes called, in modern logic, ‘the minor premise’ is, for Aristotle ‘the premise at the smaller extreme’ (e.g. 51a23: my translation).
{15αΣτΜ}. Παπανδρέου 1995, σελ. 52-53: Καλώ δέ μέσον3 όρον, αυτόν πού είναι μέσα εις ένα άλλον όρον, καί ένας άλλος όρος είναι μέσα εις αύτόν3, καί ό όποίος εις τήν θέσιν του, (εις τόν συλλογισμόν), είναι εις τά μέσον. 'Ακρα δέ καλώ, "αυτό" πού "καθ΄ αυτό " είναι μέσα εις ένα άλλο, καί "αυτό " μέσα εις τό όποίον είναι ένα άλλο. Διότι, έάν τό Α προσαγορεύεται, (κατηγορεῖται), εις "όλα " τά Β, καί τό Β προσαγορεύεται εις '"όλα" τά Γ, τότε κατ' άνάγκην καί τό Α πρέπει νά προσαγορεύεται, (νά κατηγορῆται), εις "όλα" τά Γ. Διότι έχει λεχθή προηγουμένως κατά ποίον τρόπον λέγεται η «κατά παντός» κατηγορία, (τὸ κατὰ παντὸς κατηγορεῖσθαι). `ομοίως δέ καί, έάν τό μέν Α κατηγορήται κατ' "ούδενός" Β, ένώ τό Β ύπάρχη ειές "όλα' τά Γ, τότε και τό Α θά ύπάρξη εις ""ουδέν" Γ. 'Εάν δέ, ό μέν πρώτος όρος ύπάρχη εις "όλα" τά του μέσου όρου, ένα ό μέσος όρος εις "ουδέν" έκ τον τρίτου ...
{15βΣτΜ}. Παπανδρέου 1995, σελ. 63.
16
That the natural order of diagrams is, in Greek, according to the order of writing from left to right, is expected and overwhelmingly observed in the evidence. A related consequence is that diagrams are often inverted when translated into Arabic: Lee 2020, 262.
That the natural order of diagrams is, in Greek, according to the order of writing from left to right, is expected and overwhelmingly observed in the evidence. A related consequence is that diagrams are often inverted when translated into Arabic: Lee 2020, 262.
{16ΣτΜ}. Παπανδρέου 1995, σελ. 77.
17
For instance Striker 2009, 100, on the second figure: ‘… The labels “major”, “middle”, and “minor” are no longer linked to the extensions of the terms. This has the somewhat paradoxical result that the middle is said to be “placed outside the extremes”.’
18This argument has been pursued by Manders 1995 (2008) and Netz 1999, and is now widely accepted in the scholarship.
19This is flippant: the reference of the line is not a horse but more general. Indeed, there is no good account in the literature for the use of the neuter article for the terms of the syllogism such as to A, ‘the A’ (the noun ‘term’, itself, is masculine). It appears that the neuter article takes on, in this specific context, the indefinite meaning of ‘the A <whatever it might be>’. This is a question of Greek grammar rather than of Aristotelian exegesis, but it does appear that at some level of abstraction, neuter could be understood as the default case. (For a suggestive analogous discussion, see Corbett and Fraser 2000, 6–72: why does Russian use neuter in bylo kholodno, ‘it [neuter] was cold’? Who is the neuter subject being cold here? Apparently, ‘things in general’?) Whatever our interpretation of this grammatical question, it is clear the article refers not to the line (which would have required a feminine article) but to the thing represented by the line.
The indexical character of the letters used in Greek mathematical texts is the subject of Netz 1999, 42–51. Of course, in the case of mathematics the texts we possess were intended for an audience of readers, distant in place and time, so that indices alone could never suffice; this is less clear for the texts we now know as the works of Aristotle.
21
See e.g. Bobzien 2005, 129–31.
22
Netz 2020, Section 4.4.
23
There was a practice of publishing decrees etc. not only as stone inscriptions but also on wooden boards (made white by being covered with gypsum; presumably the writing itself was charcoal-based). Such temporary inscriptions were referred to as leukōmata (not to be confused with the homonymous eye disease). Since the technology was available, it is assumed—though no direct evidence exists—that it was also used for teaching. A suggestive proposal is that writing on wood would be especially amenable for more elaborate drawings (Thomas 2019, 262–3; for a brief statement on leukōmata in general, see Thomas (no relation) 1992, 83).
24This is analogous to the way in which the Peripatetic writing project gradually became a manifold of many genres, the argument of Asper 2015.
