Σίσυφος, Αχιλλέας και Παράλογες Γραμμές: Σχετικά με τη Λογική Μορφή του «Αιώνιου» και την Εφεύρεση του Απείρου στην Αρχαία Ελλάδα

Sisyphe, Achille, et les lignes irrationnelles: Sur la forme logique du « pour-toujours » et l’invention de l’infini en Grèce ancienne, Pierrot Seban

ABSTRACT

This paper has a modest ambition: to argue for the existence of a particular logical form, the form of the “indefinite iterative”, and to argue that this form is typical of the Ancient Greek corpus in some of its early accomplishments both literary, philosophical and mathematical. We hope to describe and reveal something like an invention of the infinite in Ancient Greece, by tracing a specific form of thought from its presentation in some Homeric myths up to its mature and accomplished philosophical analysis in Aristotle’s Physics, and through its use in the paradoxes of Zeno of Elea and the mathematical formulas of incommensurability.

Αυτή η εργασία έχει μια μέτρια φιλοδοξία: να υποστηρίξει την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης λογικής μορφής, της μορφής του «αόριστου επαναληπτικού», και να υποστηρίξει ότι αυτή η μορφή είναι τυπική του αρχαιοελληνικού σώματος σε ορισμένα από τα πρώιμα επιτεύγματά του, τόσο λογοτεχνικά, φιλοσοφικά όσο και μαθηματικά. Ελπίζουμε να περιγράψουμε και να αποκαλύψουμε κάτι σαν μια εφεύρεση του απείρου στην Αρχαία Ελλάδα, εντοπίζοντας μια συγκεκριμένη μορφή σκέψεως από την παρουσίασή της σε ορισμένους ομηρικούς μύθους μέχρι την ώριμη και ολοκληρωμένη φιλοσοφική ανάλυσή της στα Φυσικά του Αριστοτέλη, και μέσω της χρήσεώς της στα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη και στους μαθηματικούς τύπους της ασυμμετρίας.

Ulysse aux enfers : le « pour-toujours » comme drame

Dans l’Odyssée d’Homère, à la fin de son voyage aux Enfers, Ulysse est pris du désir de contempler les âmes des trépassés les plus illustres1. C’est ainsi qu’il peut raconter les supplices éternels qu’y subissent certains damnés.

Il aperçoit Tityos, le géant attaché étendu, le foie dévoré par des vautours ; il aperçoit Tantale assoiffé au milieu de l’eau, et le bien connu Sisyphe, que nous devons imaginer malheureux, devant porter sa pierre. Mais comment s’y prend-on pour torturer un dieu ? Les Titans, comme les autres êtres divins de la mythologie grecque traditionnelle, ne sont pas à l’abri de la souffrance mais ils sont, décisivement, à l’abri de la mort. Un dieu étant avant tout un vivant immortel, sa torturen’est pas impossible, mais ne va pas sans exigence : un être ayant l’éternité pour s’en remettre saurait-il être touché par un supplice fini, limité dans le temps ? Supposons en tout cas que la prémisse mythologique engendre ainsi une forme de défi littéraire : concevoir et exprimer une torture indéfiniment prolongée, une torture sans fin, inachevable. Pour Tityos, Tantale, et Sisyphe, la forme que prend la solution à ce problème a une structure très spécifique, très remarquable, et qui peut nous frapper comme caractéristique de la littérature grecque classique2. Nous pouvons l’appeler la forme de « l’itération {} indéfinie », et elle est partagée, entre le temps d’Homère et celui d’Aristote, par les domaines littéraires, mathématiques, et philosophiques3.

Le problème n’est en effet pas cantonné au mythologique. La question posée est plus générale : comment faire pour penser l’infini au sens de l’inachevable, de ce qui se poursuit sans cesse et ne prend jamais fin ? Quel protocole, quels moyens intellectuels avons-nous à disposition pour y avoir accès ? Comment pouvons-nous acquérir un savoir déterminé à son propos en mathématique, le penser rigoureusement en philosophie, ou l’utiliser pour raconter une histoire et produire un effet dramatique ? L’hypothèse que nous souhaitons développer est que ces questions ont une réponse en définitive assez simple, qui est à l’oeuvre à la fois dans les mythes grecs – particulièrement ceux qui concernent les supplices infernaux – et dans les démonstrations géométriques – particulièrement celles qui relèvent de ce qu’on va appeler « l’algorithmique » et à propos des grandeurs irrationnelles – et qui est reflétée et analysée dans les raisonnements des philosophes – en particulier chez Zénon d’Élée, qui est l’introducteur de ces protocoles en philosophie, et chez Aristote, qui en fait l’analyse sans doute encore la plus importante à ce jour.

Revenons donc à Ulysse. Que nous dit-il exactement concernant les supplices des Titans4 ?

καὶ Τιτυὸν εἶδον, Γαίης ἐρικυδέος υἱόν,

κείμενον ἐν δαπέδῳ. ὁ δ’ ἐπ’ ἐννέα κεῖτο πέλεθρα,

γῦπε δέ μιν ἑκάτερθε παρημένω ἧπαρ ἔκειρον,

δέρτρον ἔσω δύνοντες· ὁ δ’ οὐκ ἀπαμύνετο χερσί.

Λητὼ γὰρ ἕλκησε, Διὸς κυδρὴν παράκοιτιν, (580)

Πυθώδ’ ἐρχομένην διὰ καλλιχόρου Πανοπῆος.

καὶ μὴν Τάνταλον εἰσεῖδον χαλέπ’ ἄλγε’ ἔχοντα,

ἑσταότ’ ἐν λίμνῃ· ἡ δὲ προσέπλαζε γενείῳ.

στεῦτο δὲ διψάων, πιέειν δ’ οὐκ εἶχεν ἑλέσθαι·

ὁσσάκι γὰρ κύψει’ ὁ γέρων πιέειν μενεαίνων, (585)

τοσσάχ’ ὕδωρ ἀπολέσκετ’ ἀναβροχέν, ἀμφὶ δὲ ποσσὶ

γαῖα μέλαινα φάνεσκε, καταζήνασκε δὲ δαίμων.

δένδρεα δ’ ὑψιπέτηλα κατὰ κρῆθεν χέε καρπόν,

ὄγχναι καὶ ῥοιαὶ καὶ μηλέαι ἀγλαόκαρποι

συκέαι τε γλυκεραὶ καὶ ἐλαῖαι τηλεθόωσαι· (590)

τῶν ὁπότ’ ἰθύσει’ ὁ γέρων ἐπὶ χερσὶ μάσασθαι,

τὰς δ’ ἄνεμος ῥίπτασκε ποτὶ νέφεα σκιόεντα.

ΕΦΤΑΛΙΩΤΗ

Καὶ τὸν Τιτυὸ εἶδα, τῆς Γῆς τῆς δοξασμένης θρέμμα,

ποὺ ἀπὰς στὸ χῶμα κοίτουνταν καὶ σκέπαζε ἐννιὰ πλέθρα·

δυὸ ἀγιοῦπες ἀπ' τὰ δυὸ πλευρὰ τοῦ τρῶγαν τὸ συκώτι,

μέσ' ἀπ' τὴ σκέπη μπαίνοντας· δὲν μπόρειε νὰ τοὺς διώξη,

τὶ εἶχε πειράξει τὴ Λητώ, τὴν ἀκριβὴ τοῦ Δία,

τὸν Πανοπέα σὰ διάβηκε νὰ πάη πρὸς τὴν Πυθώνα.

Κι ἀκόμα εἶδα τὸν Τάνταλο, βαριὰ τυραννισμένο·

ὡς τὸ πηγούνι στέκονταν μὲς στὰ νερὰ τῆς λίμνης,

διψοῦσε, καὶ μήτε σταλιὰ νὰ πάρη δὲ δυνόταν·

μόνε, ἅμα ὁ γέρος ἔσκυβε νὰ πιῆ νὰ ξεδιψάση,

κάτου ρουφιόταν τὸ νερὸ κι ἔφευγε, καὶ στὰ πόδια

γύρω φαινόταν μαύρη γῆς, ξερόκαυτη ἀπ' τὴ μοῖρα.

Καὶ δέντρα ἁψηλοφύλλωτα κρεμοῦσαν τὸν καρπό τους,

ροϊδιές, ἀφράτες ἀπιδιές, μηλιὲς καλοκαρποῦσες, συκιὲς μελόγλυκες, κι ἐλιὲς

φουντόκλωνες κι ἀνθάτες· κι ἅμ' ἅπλωνε τὰ χέρια του καρπὸ νὰ

κόψη ὁ γέρος, οἱ ἀνέμοι παῖρναν τὰ δεντρὰ στῶ

συννεφιῶν τοὺς ἴσκιους. 

Κι ἀκόμα εἶδα τὸ Σίσυφο φριχτὰ βασανισμένο·

κοτρώνα αὐτὸς θεόρατη καὶ μὲ τὰ δυὸ βαστοῦσε,

καὶ στυλωμένος ἔσπρωχνε, μὲ πόδια καὶ μὲ χέρια,

τὴν πέτρα ἀπάνω στὸ βουνό· κι ὅτι ἔκανε νὰ φτάση,

καὶ νὰ περάση ἀπ' τὴν κορφή, τὸν ἔπαιρνε τὸ βάρος

καὶ πρὸς τὸν κάμπο ἀνήλεη κατρακυλοῦσε ἡ πέτρα.

Conclusion. L’anneau et l’infini : la pensée du pour-toujours

Nous avons voulu rendre hommage à un mème de la culture grecque classique: celui de la répétition indéfinie, moins sublime que le principe infini anaximandréen, moins grandiose que l’infini actuel des mondes atomistes, mais plus pratique, plus réel, plus nécessaire à la pensée et fructueux pour la connaissance.

Nous voudrions pour finir dire un mot concernant cet infini, du point de vue de la philosophie elle-même, en revenant à un texte, peut-être le plus important jamais écrit sur l’infini : le livre III de la Physique d’Aristote. Nous souhaitions y revenir, car ce livre n’est pas seulement pour nous un document à commenter, mais aussi une des sources de notre propre compréhension, le lieu où la saisie conceptuelle de l’objet dont nous parlons a su être exprimée33.

À la fin de son analyse, en effet, Aristote tire un bilan concernant la réalité et la nature de l’infini telles qu’il en a rendu compte. Il nous semble correct de dire que pour lui, l’infini caractérise essentiellement ce qui se prête, relativement à une certaine opération, à la forme logique du pour-toujours, c’estàdire ce qui se prête à l’itérativité indéfinie donnée a priori, qui caractérise de façon paradigmatique les milieux naturels que nous occupons sous la forme du continu ou de l’homéomère. C’est pourquoi, finalement, Aristote revient au motif du cercle. Il écrit34 :

συμβαίνει δὲ τοὐναντίον εἶναι ἄπειρον ἢ ὡς λέγουσιν. οὐ γὰρ οὗ μηδὲν

ἔξω, ἀλλ’ οὗ ἀεί τι ἔξω ἐστί, τοῦτο ἄπειρόν ἐστιν. σημεῖον δέ· καὶ γὰρ τοὺς

δακτυλίους ἀπείρους λέγουσι τοὺς μὴ ἔχοντας σφενδόνην, ὅτι αἰεί τι ἔξω ἔστι

λαμβάνειν, καθ’ ὁμοιότητα μέν τινα λέγοντες, οὐ μέντοι κυρίως· δεῖ γὰρ τοῦτό

τε ὑπάρχειν καὶ μηδέ ποτε τὸ αὐτὸ λαμβάνεσθαι· ἐν δὲ τῷ κύκλῳ οὐ γίγνεται

οὕτως, ἀλλ’ αἰεὶ τὸ ἐφεξῆς μόνον ἕτερον. ἄπειρον μὲν οὖν ἐστιν οὗ κατὰ τὸ

ποσὸν λαμβάνουσιν αἰεί τι λαμβάνειν ἔστιν ἔξω.

Il en résulte que l’infini est le contraire de ce qu’on dit : non pas ce au-delà de quoi il n’y a rien, mais ce de quoi il y a toujours quelque chose au-delà, {}voilà ce qu’est l’infini. En voici un indice : on appelle infinies les bagues qui n’ont pas de chaton, parce qu’on peut toujours saisir quelque chose au-delà ; on parle ainsi par ressemblance, mais pas au sens propre, car il faudrait qu’à cette propriété s’ajoute celle qu’on ne saisisse jamais la même partie ; or sur le cercle il n’en va pas ainsi, mais c’est le consécutif qui est chaque fois autre.

Συµβαίνει, λοιπόν, να είναι άπειρο το αντίθετο από εκείνο που λέγεται ότι είναι άπειρο. Διότι άπειρο δεν είναι αυτό που δεν έχει τίποτα απ’ έξω του, αλλά αυτό που κάθε φορά έχει κάτι απ’ έξω του165. Νά τι εννοώ: λέγεται ότι τα δαχτυλίδια που δεν έχουν σφενδόνη166 χαρακτηρίζονται από απειρία, διότι µπορεί κανείς κάθε φορά να παίρνει στην περιφέρειά τους ένα σηµείο έξω από το προηγούµενο· πλην όµως το «χαρακτηρίζονται από απειρία» λέγεται βάσει κάποιας οµοιότητας, πάντως όχι κυριολεκτικά· διότι εκτός από την παραπάνω προϋπόθεση πρέπει επιπλέον να ισχύει και το εξής: να µην επαναλαµβάνεται ποτέ το ίδιο στοιχείο· όµως στην περίπτωση του κύκλου δεν ισχύει αυτό, αλλά µόνο το επόµενο σηµείο είναι διαφορετικό. Άπειρο συνεπώς είναι αυτό που αποτελεί ποσότητα και ενέχει τη δυνατότητα να παίρνει κάθε φορά κανείς έξω απ› αυτό ένα νέο ποσό167· αντιθέτως, αυτό που δεν έχει τίποτε απ’ έξω του, ακριβώς τούτο είναι ένα συντελεσµένο όλον· διότι αυτός είναι ο ορισµός του όλου: αυτό που δεν του λείπει τίποτα· π.χ. ένας άνθρωπος αποτελεί ένα όλον ή ένα κιβώτιο168. Άρα ό,τι ισχύει για ένα µεµονωµένο αντικείµενο, το ίδιο ισχύει και γι’ αυτό που κυριολεκτεί λεγόµενο όλον169: άπειρο ως όλον αποτελεί αυτό έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα· ενώ αυτό έξω από το οποίο διαπιστώνεται κάποια απουσία, δεν αποτελεί όλον, οτιδήποτε κι αν είναι αυτό που του λείπει. Το όλον, λοιπόν, και το συντελεσµένο είτε ταυτίζονται πλή ρως είτε η φύση του ενός είναι πολύ κοντά στη φύση του άλλου. Και δεν υπάρχει συντελεσµένο χωρίς τέλος· και το τέλος είναι ένα πέρας170. [Βασίλειος Μπετσάκος, σελ. 105]

Est donc infini ce dont, en le considérant selon la quantité, on peut toujours saisir quelque chose au-delà.

L’infini réel est pensé comme le porteur de l’inachevable, comme ce qui se prête a priori à la réitération, et pas comme la quantité d’un étant. C’est pourquoi il n’est pas une quantité maximale ou transcendante, ce au-delà de quoi il n’y a rien, mais il se dit de ce qui implique toujours et nécessairement un au-delà. L’image de l’infini n’est pas le cosmos, mais l’anneau, en tant qu’il symbolise la structure d’inachevabilité.

Mais, remarque Aristote, l’image ne marche pas entièrement, ou pas si simplement. Comme nous le disions au début de cet article, le cycle infini n’est pas la même chose que le cercle, que l’anneau. Car l’anneau est l’image de l’éternité, de l’immobilité, de la parfaite finitude, alors que l’infini d’Aristote définit une image de l’imperfection, de ce qui n’est jamais donné, jamais accompli. Aristote peut alors finalement apporter une précision quant à la nature de cet infini en puissance : il se dit d’un processus qui arrive toujours et a priori à quelque chose de nouveau, mais qui permet aussi bien la réitération dans sa nouveauté. Il n’y a pas de torture dans la perfection du cercle, mais il y en a une dans la soif ou l’effort toujours répété : dans ce qui est toujours identique et toujours nouveau. Les mythes antiques sur les punitions divines, les démonstrations mathématiques sur l’irrationnel, et les réflexions philosophiques sur les structures fondamentales : trois usages grecs de cette forme si caractéristique de l’infini itératif.

Επισκόπηση AI         

Το απόσπασμα προέρχεται από τα Φυσικά του Αριστοτέλη (Γ 6, 206b33-207a32), όπου ο φιλόσοφος επαναπροσδιορίζει την έννοια του «απείρου». Αντίθετα με την κοινή γνώμη, ο Αριστοτέλης ορίζει το άπειρο όχι ως αυτό που δεν έχει τίποτα έξω από αυτό (δηλαδή το τέλειο/όλον), αλλά ως αυτό που πάντα έχει κάτι έξω από αυτό, επιτρέποντας τη συνεχή λήψη νέων στοιχείων.

Βασικά Σημεία: Ορισμός του Απείρου: Άπειρο είναι αυτό που, αν το λάβουμε με βάση την ποσότητα, πάντα υπάρχει δυνατότητα να ληφθεί κάτι παραπάνω (έξω) από αυτό.

Το Παράδειγμα των Δακτυλίων: Αναφέρει ότι οι δακτύλιοι χωρίς σφενδόνη (απλοί κρίκοι) θεωρούνται «άπειροι» επειδή πάντα μπορείς να λαμβάνεις κάτι έξω από το σημείο που θεωρείς τέλος, ωστόσο αυτό είναι μια παρομοίωση και όχι η κυριολεκτική (τεχνική) σημασία του απείρου.

Κύκλος vs. Άπειρο: Ο Αριστοτέλης διευκρινίζει ότι ο κύκλος δεν είναι άπειρος, γιατί, αν και μπορείς να κινείσαι συνεχώς, δεν παίρνεις ποτέ κάτι καινούργιο έξω από το όλον, παρά μόνο το επόμενο συνεχόμενο στοιχείο (το εξῆς).

Ορισμός του Όλου: «Τέλειον καὶ ὅλον» (δηλαδή πεπερασμένο) είναι αυτό που δεν έχει τίποτα έξω από αυτό. Ο Αριστοτέλης καταλήγει ότι το πραγματικά άπειρο σχετίζεται με τη συνεχή, ατέρμονη δυνατότητα πρόσθεσης (δυνάμει άπειρον) και όχι με ένα έτοιμο, ολοκληρωμένο άπειρο μέγεθος.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

https://www.stratilio.gr/wp-content/uploads/2024/08/%CE%91%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%84%CE%AD%CE%BB%CE%B7%CF%82_%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%AC_%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%B1-%CE%93-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%94.pdf

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, ΦΥΣΙΚΑ, ΒΙΒΛΙΑ Γ΄ ΚΑΙ ∆, εκδ. Ζήτρος 2008

https://philpapers.org/rec/SEBFZA
 Seban, P. 2023. “From Zeno ad infinitum: Iterative Reasonings in Early Greek Philosophy,” Rhizomata 11 (1), pp. 33-54.

https://journals.openedition.org/philosant/9767?lang=en