'Babylonian' Mathematics of the Seleucid Period

 'ΒΑΒΥΛΩΝΙΑΚΑ' ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕΛΕΥΚΙΔΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ - ερανίσματα

4. Βαβυλωνιακά μαθηματικά[1]

Σύμφωνα και με την συνθετική εργασία του Neugebauer (Mathematische Keilschrift-Texte, MKT) από την παλαιο – Βαβυλωνιακή περίοδο (2000-1600 π.Χ.)62 αλλά και από την νεώτερη της περιόδο των Σελευκιδών (μετά το 300 π.Χ.)63 η αριθμητική και μαθηματική τέχνη είχαν κατακτήσει υψηλά επίπεδα. Όπως προκύπτει από τις πινακίδες σφηνοειδούς οι οποίες έχουν φθάσει στα χέρια μας κατά το πλείστον από παράνομες ανασκαφές, στερούμενες δηλαδή σαφούς αρχαιολογικού πλαισίου, οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό θεσιακό σύστημα αριθμήσεως, όμως εστερούντο συμβόλου για το μηδέν, μέχρι τουλάχιστον την περίοδο των Σελευκιδών. Μεταξύ των άλλων οι Βαβυλώνιοι ήταν σε θέση να επιλύουν εξισώσεις πρώτου, δευτέρου ή και ανώτερου βαθμού με έναν ή δύο αγνώστους,64 ενώ ήταν γνώστες διαφόρων ταυτοτήτων αλλά και θεμάτων ορθογωνίου τριγώνου (Πυθαγόρειος κανόνας στην πινακίδα Plimpton 322),65 τραπεζίου, κύκλου κ.ά.66

Πάντως παρ’ όλον τον διαφαινόμενο θαυμασμό του προς τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ο Neugebauer δεν δίστασε να σημειώσει ότι αυτά δεν ξεπέρασαν ποτέ το όριο της προ - επιστημονικής σκέψεως, προσθέτοντας ότι μόνον στους τρείς τελευταίους αιώνες της ιστορίας τους, δηλαδή την περίοδο των Σελευκιδών, ο κλάδος της μαθηματικής αστρονομίας τους κατέστη ισότιμος αυτού των Ελλήνων συγχρόνων τους.67 Μάλιστα ο ίδιος θεωρεί ότι το κέντρο της ‘αρχαίας επιστήμης’ ευρίσκεται στην ‘ελληνιστική’ περίοδο,68 με τον τελευταίο επιθετικό προσδιορισμό ‘ελληνιστική’ εντός εισαγωγικών. Όμως εκτιμά ότι αυτή η ‘μορφή επιστήμης’ προέκυψε από την συγχώνευση των κατακτήσεων και επιτευγμάτων των πολύ παλαιότερων ανατολικών πολιτισμών, για να εξαπλωθεί στην συνέχεια από την Ινδία ως την Δυτική Ευρώπη, κυριαρχώντας – κατά τον ίδιο – έως την εποχή του Νεύτωνος οπότε ανεδύθη η σύγχρονη επιστήμη. 

Ανακεφαλαιώνοντας επισημαίνουμε ότι κατά τον Neugebauer ο Ελληνιστικός πολιτισμός οφείλει το περιεχόμενό του στους παλαιούς ανατολικούς πολιτισμούς,69 κατά κύριον λόγο την Μεσοποταμία, υπογραμμίζουμε δε εδώ ότι η αναφορά αυτή δεν φαίνεται να περιορίζεται, έστω, στις θετικές επιστήμες, αλλά μοιάζει να επεκτείνεται σε όλες τις πολιτιστικές εκφάνσεις. Ο Ελληνιστικός πολιτισμός, επίσης, κατά τον ίδιο μελετητή αποκόπτεται από τον ευρύτερο Ελληνικό πολιτισμό, αφού άλλωστε είχε τις δικές του ρίζες στους Ανατολικούς πολιτισμούς, οι οποίοι ήκμασαν χίλια και περισσότερα χρόνια παλαιότερα!70 Περίεργη μας φαίνεται και η αναφορά του στα Ελληνικά / Ελληνιστικά Μαθηματικά ως ‘μορφή επιστήμης’ σε αντιπαραβολή προς την ‘σύγχρονη επιστήμη’ που γεννήθηκε με τον Νεύτωνα! Μήπως θα πρέπει να ξαναγράψουμε την ιστορία θεωρώντας την Αναγέννηση ως επιστροφή όχι στο αρχαίο Ελληνικό πνεύμα αλλά ως αναβίωση του Μεσοποταμιακού πολιτιστικού σχήματος; Η παρατήρησή του ότι σύμφωνα με την παρούσα γνώση μας των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών τα τελευταία από πολλές απόψεις συγκρίνονται με τα Μαθηματικά της πρώιμης Αναγεννήσεως71 μας προξενεί κατάπληξη και ερωτηματικά: η αξιωματική γεωμετρία του Ευκλείδου έχει εξαφανιστεί από προσώπου γής, ή δεν είναι άξια αναφοράς και θα πρέπει να αντικατασταθεί από τα Μεσοποταμιακά μαθηματικά; Μήπως θα πρέπει να αλλάξουμε και το εκπαιδευτικό σύστημα, καταργώντας την απόδειξη αλλά και τον λόγο εν γένει, υποκαθιστώντας τα με αναπόδεικτα συνταγολόγια;

 

Εικόνα 3. Βαβυλωνιακή πινακίδα Plimpton 322 με μαθηματικο περιεχόμενο (https://en.wikipedia.org/wiki/Plimpton_322)

6.2 Οικοδομική - Αρχιτεκτονική[2]

Η μελέτη των θολωτών Μυκηναϊκών τάφων έχει οδηγήσει ερευνητές να διατυπώσουν την άποψη ότι οι Έλληνες της Εποχής του Χαλκού κατείχαν πρακτικές γνώσεις μαθηματικών καμπυλών όπως η παραβολή,80 ενώ έχει επίσης υποστηριχθεί η από μέρους τους γνώση και χρήση Πυθαγορείων τριάδων, ήτοι τριάδων ακεραίων αριθμών οι οποίοι ικανοποιούσαν τον Πυθαγόρειο κανόνα: a2 = b2 + c2.81

Σφηνοειδής πινακίδα AO 6484 με μαθηματικό περιεχόμενο (Ορχόη - Uruk, 2ος αι. π.Χ.)[4]

Tablet AO 6484 of the Louvre Museum is a “Seleucid” tablet of about 300 bce (see the image below).[5] According to Raymond Archibald’s “Babylonian Mathematics,”[6] the partial sum of a geometric series is given as (in modern notation, of course):

This leads Archibald to speculate that the Babylonians of this time may have known the sum of a geometric progression,

 ; this is given in Euclid’s Elements in Book IX as Proposition 36. 

On the same tablet, a sum of squares is given:

Archibald then wonders if the Babylonians of 30 bce[7] knew the formula

This sum was known to Archimedes (287 bce–212 bce), and the sum Σi (i=1 to n) was known to the Pythagoreans (in the form of triangular numbers; see Figure 7 of Section 3.3. Pythagorean Arithmetic). These two examples are also stated by Eves (Eves and Archibald both credit Neugebauer with these observations) on his page 43.

Three Seleucid problem texts are known: VAT 7848, AO 6484 and BM 34568. A colophon in AO 6484 states that it was written by the astrologer-priest Anu-abauter, member of a scribal family descending from the astrologer-priest Sin-leqeunnirmi from Uruk. Anu-aba-uter was active in the early second century [Hunger 1968: 40 #92 and passim]. The colophons of the other two texts are destroyed, but they appear to come from the same scholar-scribes' environment and to be roughly contemporary.[8]

III.2 Anu-aba-uter Sîn-leqi-unninni[9]

Samas-etir’s pupil Anu-aba-uter is one of the best-attested scholars from Hellenistic Uruk.

Apart from the four astronomical tablets (d, e, g, h) we have already discussed, he wrote seven surviving tablets for his father Anu-belsunu in the late 190s BCE, just after he was writing for Samas-etir; five were written for him in 188 BCE by Anu-uballit son of Ina-qibît-Anu of the Ekur-zekir family (who was presumably a young relative of Samas-etir’s). He also owned or wrote five others, including two copied by his nephew Anu-balassu-iqbi in the 180s and 170s. Over two-thirds of his tablets contain the computational astronomy of Systems A and B; the remainder are incantations, zodiacal calendars, and a collection of mathematical problems. 

........ 

The words encapsulate the traditional interdependence of temple and kingship, through divine support for royalty and royal patronage of temples — still a reality in the Hellenistic period (see Section V). 

Outside the cosy family network, however — and, increasingly, within it — Urukean society was ever more Hellenised. Antu-banât’s Ahi’ûtu bridegroom, for instance, went by the name of Antiochus, though his father and son used the familiar Babylonian names Inaqibît-Anu and Anu-balassu-iqbi; their family’s use of Greek names increased generation by generation.44 It is likely (though not provable) that non-cuneiform users were even more {NEXT PAGE} prone to adopting Greek nomenclature. That names and language were a matter of choice can be seen from two building inscriptions of Antiochus Ahi’ûtu’s paternal uncle, who oversaw repairs to Anu’s temple Res in 202 BCE. A cuneiform inscription, found on bricks in the ruins, states in part, ‘Anu-uballit, whose other name is Kephalon, son of Anu-balassuiqbi’ rebuilt this temple ‘for the sake of the life of Antiochus, king of the lands, my lord.’

Another brick inscription, from the goddess Inana’s temple Esgal, simply reads ‘Anu-uballit, whose other name is Kephalon’ - either in cuneiform nor Greek but in alphabetic Aramaic!45 [10]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

[1]. Κονιδάρης 2021, σελ. 19.

[2]. Κονιδάρης 2021, σελ. 26

[4]. https://collections.louvre.fr/en/ark:/53355/cl010167127 

[5]. Η ορθή χρονολογία είναι στις αρχές του 2ου αι. π.Χ. βλ. Robson 2007, p. 174. 

[6]. Archibald 1936.

[7]. Λάθος, μάλλον εννοεί 300 BC, που κι αυτό είναι εσφαλμένο διότι η πινακίδα χρονολογείται στον β' αι. π.Χ.!

[8]. Hoyrup 2018.

[9]. Robson 2007, p. 9.

[10]. Robson 2007, p. 12.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

https://www.jstor.org/stable/225054
Archibald, R. C. 1936. "Babylonian Mathematics," Isis 26 (1), pp. 63-81.

https://faculty.etsu.edu/gardnerr/3040/Notes-Eves6/Eves6-2-5.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR2Vd279tQBdGBxrAnF36pGlE2exvLzjff29aHphubi_7Y3lu-v2h3AG51Q_aem_fyqnmczZwAlvAsK9onqF_w

2.5. Babylonia: Algebra (East Tennessee State University)

https://www.jstor.org/stable/40025997

Steele, J. M. 2005. "A New Scheme from Uruk for the Retrograde Arc of Mars," Journal of Cuneiform Studies 57, pp. 129-133.

http://webhotel4.ruc.dk/~jensh/Publications/2018%7Bl%7D_On%20Old%20Babylonian%20Mathematical%20Terminology_S.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR3yqitJseNlC0FYxdM42EhBdVBCmUeWXbhcZRrI46ZzcRymT-mlc7X1QMU_aem_dhEIdMWfwR9b8zSJAtxVOg

Hoyrup, J. 2018. "On Old Babylonian Mathematical Terminology and its Transformations in the Mathematics of Later Periods," Ganita Bharati: Bulletin of the Indian Society for History of Mathematics 40 (1), pp. 53-99.

https://www.academia.edu/1261766/Mesopotamian_mathematics_page_proofs_?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR2Vd279tQBdGBxrAnF36pGlE2exvLzjff29aHphubi_7Y3lu-v2h3AG51Q_aem_fyqnmczZwAlvAsK9onqF_w

Robson, E. 2007. "Mesopotamian mathematics (page proofs),"  in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam: a Sourcebook, ed. V.J. Katz (ed.), , Princeton University Press 2007, pp. 57–186.

https://www.academia.edu/1756631/Secrets_de_famille_pr%C3%AAtre_et_astronome_%C3%A0_Uruk_%C3%A0_l_%C3%A9poque_hell%C3%A9nistique?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR0V_v5r9znavtv0BunVkSfLQPj8QwgQDZZVH7mTwyT6TbFye8t19t4hHLI_aem_v1iQunFuQlDo6cgvJH43qw

Robson, E. 2007. "Family secrets: astronomy and priesthood in Hellenistic Uruk," Lieux de savoir, 1. Espaces et communautés, ed. C. Jacob, Albin Michel, 2007, p. 440-461 (1-16). 

https://myria.math.aegean.gr/elements/Stoixeia.pdf

Ευκλείδου Αλεξανδρέως. Στοιχεία, αρχαίο κείμενο και απόδοση στην σύγχρονη Μαθηματική γλώσσα υπό Ν. Ροκοπάνου, Στ. Σακελλάρη και Α. Τσολομύτη, Σάμος 2021-2024.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086007001000

Gonçalves, C. H. B. 2008. “An alternative to the Pythagorean rule? Reevaluating Problem 1 of cuneiform tablet BM 34 568,” Historia Mathematica 35 (3), pp. 173-189.

p. 183: The first of these contexts is Old Babylonian mathematics, whose import on the practices of Seleucid scribes is shown mainly by the continuity of relevant problem types and the persistence of the use of the Akkadian language. Let us then consider how BM 34 568:1, specifically, might be linked to Old Babylonian mathematics.

..

The second context that deserves consideration is Hellenistic mathematics, for there is a well-attested interaction between Eastern and Western cultural and political elements after the conquests of Alexander the Great. But before we enter into details, a note of caution is necessary. The question of the mutual influence between the Near East and Greece, or between East and West, as it is commonly referred to, has been intensively discussed. The specialized studies focus mainly on two distinct periods, Archaic and Ancient Greece on the one side, and the Seleucid period on the other. Some awareness of the difficulty in dealing historically with matters of cultural interaction between

East and West is necessary before we go on to discuss the specific issue of the possible contacts between Hellenistic mathematics and Seleucid scribal practices.

I will first consider Ancient Greece, because it reinforces the point to be stated below for the Seleucid period. Until the 1950s, the dominant view, especially among Hellenists, was that Greece had blossomed without any influence from its eastern neighbors. The decipherment, in 1952–1953, of Linear B, the writing of Mycenaean Greece, revealed a culture that can be explained only if we assume that a strong influence from the East had taken place in its formation.

This understanding was one of the factors that provided a clearer understanding of the Eastern influence on Greek culture.17 In the history of science, a corresponding opinion implying that only the achievements of the Greeks could {} be considered as science persisted until the last decades of the 20th century. As more insight into cuneiform and other non-European evidence was gained, this view was also emphatically criticized, for example in Pingree [1992].

Nevertheless, the question of the mutual influence of East and West is still a very subtle one. To use the words of Walter Burkert, when searching for explanations of cultural phenomena, “the mere statement of influence is unsatisfactory.

One has to seek out the kinds of response to cultural influence, the modifications that occurred, including possible progress by misunderstanding” [2004, 5].

..

t whatever had been the degree of interaction of local and Greek culture it did not affect the temples, which continued to conduct their activities according to longstanding local traditions. This would, in fact, be a reason to discard the possibility of a link from BM 34 568:1 to the Greek mathematical tradition.

https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000103313

Sakellariou, M., C. Doumas. 1991. The Middle and Late Bronze Age (2100-1100 BC) (History of humanity: scientific and cultural development, v. II: From the third millennium to the seventh century B.C.), Unesco.

Κονιδάρης, Δ. 2021. Ιστορία των θετικών τεχνών και επιστημών κατά την αρχαιότητα. Αποσιώπηση και μεροληψία, Αθήνα.